Упр.592 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 592. При каких действительных значениях х и у комплексные числа z1 = х2 — 7х + 9yi и z2 = y2i + 20i — 12 равны? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 592 118

Чтобы комплексные числа были равны, должны совпадать их действительные и мнимые части:

$$z_1=x^2-7x+9yi,\qquad z_2=y^2i+20i-12=-12+(y^2+20)i.$$

Тогда получаем систему:

$$ \begin{cases} x^2-7x=-12,\\ 9y=y^2+20. \end{cases} $$

Решим первое уравнение:

$$ x^2-7x+12=0 $$

$$ D=49-48=1,\qquad x=\frac{7\pm1}{2}. $$

Отсюда:

$$x=3 \text{ или } x=4.$$

Решим второе уравнение:

$$ y^2-9y+20=0 $$

$$ D=81-80=1,\qquad y=\frac{9\pm1}{2}. $$

Отсюда:

$$y=4 \text{ или } y=5.$$

Комбинируя найденные значения, получаем все пары $$\,(x,y)\,$$, при которых $$z_1=z_2$$:

$$ (3,4),\ (3,5),\ (4,4),\ (4,5). $$

Ответ

$$(3;4),\ (3;5),\ (4;4),\ (4;5).$$