Упр.592 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. При каких действительных значениях $$x$$ и $$y$$ комплексные числа $$z_1=x^2-7x+9yi$$ и $$z_2=y^2i+20i-12$$ равны?

Чтобы комплексные числа были равны, должны совпадать их действительные и мнимые части:

$$z_1=x^2-7x+9yi,\qquad z_2=y^2i+20i-12=-12+(y^2+20)i.$$

Тогда получаем систему:

$$\begin{cases} x^2-7x=-12,\\ 9y=y^2+20. \end{cases}$$

Решим первое уравнение:

$$x^2-7x+12=0$$

$$D=49-48=1,\qquad x=\frac{7\pm1}{2}.$$

Отсюда:

$$x=3 \text{ или } x=4.$$

Решим второе уравнение:

$$y^2-9y+20=0$$

$$D=81-80=1,\qquad y=\frac{9\pm1}{2}.$$

Отсюда:

$$y=4 \text{ или } y=5.$$

Комбинируя найденные значения, получаем все пары $$\,(x,y)\,$$, при которых $$z_1=z_2$$:

$$(3,4),\ (3,5),\ (4,4),\ (4,5).$$

Ответ

$$(3;4),\ (3;5),\ (4;4),\ (4;5).$$