Упр.59 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти все принадлежащие отрезку $$[0;3\pi]$$ решения неравенства:

1) $$\sin x>\frac{1}{2}$$;
2) $$\sin x\leq\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
3) $$\sin x\geq-\frac{1}{2}$$;
4) $$\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

1. $$\sin x>\frac12.$$

   На промежутке $$[0;3\pi]$$ это выполняется при

   $$\frac{\pi}{6}<x<\frac{5\pi}{6},\qquad \frac{13\pi}{6}<x<\frac{17\pi}{6}.$$

2. $$\sin x\le \frac{\sqrt2}{2}.$$

   Значение $$\frac{\sqrt2}{2}$$ синус принимает при $$x=\frac{\pi}{4}$$ и $$x=\frac{3\pi}{4}$$, поэтому на отрезке $$[0;3\pi]$$ получаем

   $$0\le x\le \frac{\pi}{4},\qquad \frac{3\pi}{4}\le x\le \frac{9\pi}{4},\qquad \frac{11\pi}{4}\le x\le 3\pi.$$

3. $$\sin x\ge -\frac12.$$

   Точки, где $$\sin x=-\frac12$$, имеют вид $$x=\frac{7\pi}{6}$$ и $$x=\frac{11\pi}{6}$$. Тогда на отрезке $$[0;3\pi]$$

   $$0\le x\le \frac{7\pi}{6},\qquad \frac{11\pi}{6}\le x\le 3\pi.$$

4. $$\sin x<-\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Это выполняется между точками $$x=\frac{4\pi}{3}$$ и $$x=\frac{5\pi}{3}$$, поэтому

   $$\frac{4\pi}{3}<x<\frac{5\pi}{3}.$$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{6}<x<\frac{5\pi}{6},\ \frac{13\pi}{6}<x<\frac{17\pi}{6}$$;
2) $$0\le x\le \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4}\le x\le \frac{9\pi}{4},\ \frac{11\pi}{4}\le x\le 3\pi$$;
3) $$0\le x\le \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}\le x\le 3\pi$$;
4) $$\frac{4\pi}{3}<x<\frac{5\pi}{3}$$.