Упр.579 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 579 Вероятность того, что насекомое определённого вида будет жить более 100 дней, равна 0,5. Какова вероятность того, что среди выбранных для наблюдения 10 насекомых этого вида не менее 8 экземпляров будут жить более 100 дней?

Подробный ответ

Пусть случайная величина $$X$$ — число насекомых из 10, которые будут жить более 100 дней. Тогда $$X$$ имеет биномиальное распределение с параметрами $$n=10$$, $$p=0{,}5$$.

Нужно найти вероятность события $$X \ge 8$$:

$$ P(X \ge 8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10). $$

По формуле Бернулли:

$$ P(X=k)=C_{10}^k \cdot 0{,}5^k \cdot 0{,}5^{10-k}=C_{10}^k \cdot 0{,}5^{10}. $$

Тогда

$$ P(X \ge 8)=\left(C_{10}^8+C_{10}^9+C_{10}^{10}\right)\cdot 0{,}5^{10}. $$

Вычислим сочетания:

$$ C_{10}^8=45,\quad C_{10}^9=10,\quad C_{10}^{10}=1. $$

$$ P(X \ge 8)=(45+10+1)\cdot 0{,}5^{10}=56\cdot \frac{1}{2^{10}}=\frac{56}{1024}=\frac{7}{128}. $$