Упр.579 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Вероятность того, что насекомое определённого вида будет жить более $$100$$ дней, равна $$0{,}5$$. Какова вероятность того, что среди выбранных для наблюдения $$10$$ насекомых этого вида не менее $$8$$ экземпляров будут жить более $$100$$ дней?

Подробный ответ

Пусть случайная величина $$X$$ — число насекомых из 10, которые будут жить более 100 дней. Тогда $$X$$ имеет биномиальное распределение с параметрами $$n=10$$, $$p=0{,}5$$.

Нужно найти вероятность события $$X \ge 8$$:

$$P(X \ge 8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10).$$

По формуле Бернулли:

$$P(X=k)=C_{10}^k \cdot 0{,}5^k \cdot 0{,}5^{10-k}=C_{10}^k \cdot 0{,}5^{10}.$$

Тогда

$$P(X \ge 8)=\left(C_{10}^8+C_{10}^9+C_{10}^{10}\right)\cdot 0{,}5^{10}.$$

Вычислим сочетания:

$$C_{10}^8=45,\quad C_{10}^9=10,\quad C_{10}^{10}=1.$$

$$P(X \ge 8)=(45+10+1)\cdot 0{,}5^{10}=56\cdot \frac{1}{2^{10}}=\frac{56}{1024}=\frac{7}{128}.$$