Упр.578 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Игральный кубик бросают 5 раз. Какова вероятность того, что одно очко появится: 1) ровно 2 раза; 2) ровно 3 раза; 3) не более 2 раз; 4) не менее 4 раз?

Пусть $$p=\frac16$$ — вероятность выпадения одного очка, тогда $$q=1-p=\frac56$$.

Используем формулу биномиального распределения:

$$P_5(k)=C_5^k p^k q^{5-k}.$$

1. Ровно 2 раза:

   $$P_5(2)=C_5^2\left(\frac16\right)^2\left(\frac56\right)^3 =10\cdot \frac1{36}\cdot \frac{125}{216} =\frac{625}{3888}.$$

2. Ровно 3 раза:

   $$P_5(3)=C_5^3\left(\frac16\right)^3\left(\frac56\right)^2 =10\cdot \frac1{216}\cdot \frac{25}{36} =\frac{125}{3888}.$$

3. Не более 2 раз:

   $$P=P_5(0)+P_5(1)+P_5(2).$$

   $$P=\left(\frac56\right)^5+5\cdot \frac16\left(\frac56\right)^4+\frac{625}{3888} =\frac{3125}{7776}+\frac{3125}{7776}+\frac{625}{3888} =\frac{3125+3125+1250}{7776} =\frac{6250}{7776} =\frac{625}{648}.$$

4. Не менее 4 раз:

   $$P=P_5(4)+P_5(5).$$

   $$P=C_5^4\left(\frac16\right)^4\left(\frac56\right)+\left(\frac16\right)^5 =5\cdot \frac{1}{1296}\cdot \frac56+\frac1{7776} =\frac{25}{7776}+\frac{1}{7776} =\frac{26}{7776} =\frac{13}{3888}.$$

Ответ

1) $$\frac{625}{3888}$$; 2) $$\frac{125}{3888}$$; 3) $$\frac{625}{648}$$; 4) $$\frac{13}{3888}$$.