Упр.577 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Монету бросают 8 раз. Какова вероятность того, что орёл появится: 1) ровно 2 раза; 2) ровно 6 раз; 3) не менее 6 раз; 4) не более 2 раз?

При каждом броске монеты вероятность выпадения орла равна $$p=\frac12,$$ решки — $$q=\frac12.$$

Используем формулу биномиального распределения:

$$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k}.$$

1. Ровно 2 раза:

   $$P_8(2)=C_8^2\left(\frac12\right)^2\left(\frac12\right)^{8-2}=C_8^2\left(\frac12\right)^8.$$

   $$P_8(2)=\frac{8!}{2!\,6!}\cdot\frac{1}{2^8}=\frac{28}{256}=\frac{7}{64}.$$

2. Ровно 6 раз:

   $$P_8(6)=C_8^6\left(\frac12\right)^6\left(\frac12\right)^{8-6}=C_8^6\left(\frac12\right)^8.$$

   $$P_8(6)=\frac{8!}{6!\,2!}\cdot\frac{1}{2^8}=\frac{28}{256}=\frac{7}{64}.$$

3. Не менее 6 раз:

   $$P=P_8(6)+P_8(7)+P_8(8).$$

   $$P=\frac{7}{64}+C_8^7\left(\frac12\right)^8+C_8^8\left(\frac12\right)^8$$

   $$P=\frac{7}{64}+\frac{8}{256}+\frac{1}{256}=\frac{28}{256}+\frac{8}{256}+\frac{1}{256}=\frac{37}{256}.$$

4. Не более 2 раз:

   $$P=P_8(0)+P_8(1)+P_8(2).$$

   $$P=C_8^0\left(\frac12\right)^8+C_8^1\left(\frac12\right)^8+C_8^2\left(\frac12\right)^8$$

   $$P=\frac{1}{256}+\frac{8}{256}+\frac{28}{256}=\frac{37}{256}.$$

Ответ

1) $$\frac{7}{64}$$; 2) $$\frac{7}{64}$$; 3) $$\frac{37}{256}$$; 4) $$\frac{37}{256}$$.