Упр.56 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном из них функция $$y=\sin x$$ возрастала, а на другом убывала:

1. $$[0;\pi]$$;
2. $$\left[\frac{\pi}{2};2\pi\right]$$;
3. $$[-\pi;0]$$;
4. $$[-2\pi;-\pi]$$.

Функция $$y=\sin x$$ возрастает на промежутках вида $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi k;\,\frac{\pi}{2}+2\pi k\right]$$ и убывает на промежутках вида $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi k;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right]$$, где $$k\in\mathbb{Z}$$.

Разобьём каждый отрезок в точке, где меняется монотонность функции.

1. $$[0;\,\pi]$$

   На $$\left[0;\,\frac{\pi}{2}\right]$$ функция возрастает, а на $$\left[\frac{\pi}{2};\,\pi\right]$$ убывает.

2. $$\left[\frac{\pi}{2};\,2\pi\right]$$

   На $$\left[\frac{\pi}{2};\,\frac{3\pi}{2}\right]$$ функция убывает, а на $$\left[\frac{3\pi}{2};\,2\pi\right]$$ возрастает.

3. $$[-\pi;\,0]$$

   На $$\left[-\pi;\,-\frac{\pi}{2}\right]$$ функция убывает, а на $$\left[-\frac{\pi}{2};\,0\right]$$ возрастает.

4. $$[-2\pi;\,-\pi]$$

   На $$\left[-2\pi;\,-\frac{3\pi}{2}\right]$$ функция возрастает, а на $$\left[-\frac{3\pi}{2};\,-\pi\right]$$ убывает.

Ответ

1) $$\left[0;\,\frac{\pi}{2}\right]$$ и $$\left[\frac{\pi}{2};\,\pi\right]$$;
2) $$\left[\frac{\pi}{2};\,\frac{3\pi}{2}\right]$$ и $$\left[\frac{3\pi}{2};\,2\pi\right]$$;
3) $$\left[-\pi;\,-\frac{\pi}{2}\right]$$ и $$\left[-\frac{\pi}{2};\,0\right]$$;
4) $$\left[-2\pi;\,-\frac{3\pi}{2}\right]$$ и $$\left[-\frac{3\pi}{2};\,-\pi\right]$$.