Упр.53 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти значения функции $$y=\frac{1}{\sin 2x}$$ при: 1) $$x=-\frac{\pi}{2}$$; 2) $$x=\frac{3\pi}{4}$$; 3) $$x=-\frac{10\pi}{3}$$; 4) $$x=-\frac{19\pi}{4}$$.

Вычислим значение функции $$y=\frac{1}{\sin^2 x}$$ в каждой точке.

1. При $$x=-\frac{\pi}{2}$$ имеем:

   $$\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,$$

   $$y=\frac{1}{\sin^2\left(-\frac{\pi}{2}\right)}=\frac{1}{(-1)^2}=1.$$

2. При $$x=\frac{3\pi}{4}$$ имеем:

   $$\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},$$

   $$y=\frac{1}{\sin^2\frac{3\pi}{4}}=\frac{1}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\frac{1}{\frac12}=2.$$

3. При $$x=-\frac{10\pi}{3}$$ используем периодичность синуса:

   $$\sin\left(-\frac{10\pi}{3}\right)=\sin\left(-\frac{10\pi}{3}+4\pi\right)=\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$

   $$y=\frac{1}{\sin^2\left(-\frac{10\pi}{3}\right)}=\frac{1}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\frac{1}{\frac34}=\frac{4}{3}.$$

4. При $$x=-\frac{19\pi}{4}$$ имеем:

   $$\sin\left(-\frac{19\pi}{4}\right)=\sin\left(-\frac{19\pi}{4}+4\pi\right)=\sin\frac{13\pi}{4}=\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2},$$

   $$y=\frac{1}{\sin^2\left(-\frac{19\pi}{4}\right)}=\frac{1}{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\frac{1}{\frac12}=2.$$

Ответ

$$1;\ 2;\ \frac{4}{3};\ 2.$$