Упр.504 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти член разложения бинома $$\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{12}$$, содержащий $$\frac{1}{x}$$.

Общий член разложения бинома

$$\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{12}$$

имеет вид

$$T_{k+1}=C_{12}^k\left(\sqrt[3]{x}\right)^{12-k}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^k.$$

Преобразуем степень при $$x$$:

$$T_{k+1}=C_{12}^k \cdot x^{\frac{12-k}{3}} \cdot x^{-\frac{k}{2}}=C_{12}^k \cdot x^{4-\frac{5}{6}k}.$$

Нужно, чтобы этот член содержал $$\frac{1}{x}=x^{-1}.$$ Тогда

$$4-\frac{5}{6}k=-1,$$

$$\frac{5}{6}k=5,$$

$$k=6.$$

Тогда искомый коэффициент равен

$$C_{12}^6=\frac{12!}{6!\,6!}=924.$$

Следовательно, искомый член разложения:

$$924\cdot \frac{1}{x}.$$

Ответ

$$924\cdot \frac{1}{x}$$