Упр.503 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти член разложения бинома $$\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{14}$$, содержащий $$x^4$$.

Рассмотрим общий член разложения бинома:

$$\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{14}$$

По формуле бинома Ньютона

$$T_{k+1}=C_{14}^k\left(\sqrt{x}\right)^{14-k}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^k.$$

Упростим степень:

$$T_{k+1}=C_{14}^k \cdot x^{\frac{14-k}{2}} \cdot x^{-\frac{k}{2}}=C_{14}^k \cdot x^{\frac{14-2k}{2}}=C_{14}^k \cdot x^{7-k}.$$

Нужен член, содержащий $$x^4$$, значит

$$7-k=4,$$

откуда

$$k=3.$$

Тогда коэффициент равен

$$C_{14}^3=\frac{14!}{3!\,11!}=\frac{14\cdot 13\cdot 12}{3\cdot 2\cdot 1}=364.$$

Следовательно, искомый член разложения:

$$364x^4.$$

Ответ

$$364x^4$$