Упр.500 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Сколькими способами $$2n$$ разных элементов можно разбить на пары?

Разобьём $$2n$$ различных элементов на пары.

Сначала упорядочим все $$2n$$ элементов: это можно сделать $$$(2n)!$$ способами.

После этого разобьём получившийся ряд на пары:

$$|1,2|,\ |3,4|,\ |5,6|,\ \ldots,\ |2n-1,2n|.$$

Внутри каждой пары порядок не важен, поэтому каждую пару можно переставить $$2$$ способами. Таких пар $$n$$, значит, нужно разделить на $$2^n$$.

Кроме того, порядок самих пар не важен, поэтому делим ещё на $$n!$$.

Получаем:

$$\frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}.$$

Ответ

$$\frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}$$