Упр.50 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Решить неравенство:

1. $$\cos 2x>\frac{3}{4}$$;
2. $$2\cos 2x-3\cos x-2>0$$;
3. $$\sqrt[4]{7-\frac{\cos 4x}{2}}>-2\cos x$$.

1. $$\cos^2 x>\frac34$$

   $$\frac{1+\cos 2x}{2}>\frac34$$

   $$2+2\cos 2x>3$$

   $$2\cos 2x>1$$

   $$\cos 2x>\frac12$$

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<2x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$-\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$2\cos^2 x-3\cos x-2>0$$

   Пусть $$t=\cos x$$, тогда $$t\in[-1;1]$$ и

   $$2t^2-3t-2>0$$

   $$D=9+16=25$$

   $$t_1=\frac{3-5}{4}=-\frac12,\qquad t_2=\frac{3+5}{4}=2$$

   $$2(t+\frac12)(t-2)>0$$

   С учётом $$t\in[-1;1]$$ получаем:

   $$t<-\frac12$$

   $$\cos x<-\frac12$$

   $$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3. $$\sqrt[4]{\frac{7-\cos 4x}{2}}>-2\cos x$$

   $$\frac{7-\cos 4x}{2}=3+\frac{1-\cos 4x}{2}=3+\sin^2 2x$$

   $$\sqrt[4]{3+\sin^2 2x}>-2\cos x$$

   Так как $$\sqrt[4]{3+\sin^2 2x}\ge 0$$, то при $$\cos x>0$$ неравенство выполняется всегда.

   Если $$\cos x\le 0$$, возведём обе части в четвёртую степень:

   $$3+\sin^2 2x>16\cos^4 x$$

   $$3+4\sin^2 x\cos^2 x>16\cos^4 x$$

   $$3+4\cos^2 x-4\cos^4 x>16\cos^4 x$$

   $$20\cos^4 x-4\cos^2 x-3<0$$

   Пусть $$t=\cos^2 x$$, тогда

   $$20t^2-4t-3<0$$

   $$D=16+240=256$$

   $$t_1=\frac{4-16}{40}=-\frac{3}{10},\qquad t_2=\frac{4+16}{40}=\frac12$$

   Значит,
   $$0\le \cos^2 x<\frac12,$$
   то есть
   $$\cos x>-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   С учётом случая $$\cos x>0$$ получаем:

   $$\cos x>-\frac{\sqrt2}{2}$$

   $$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$-\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3) $$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$