Упр.5 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
5. 1) y = корень sinx + 1;
2) y = корень cosx -1;
3) y = lgsinx;
4) y = корень 2cosx-1;
5) y = корень 1-2sinx;
6) y = lncosx.
$$y=\sqrt{\sin x+1}$$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$\sin x+1\ge 0.$$
Так как $$\sin x\ge -1$$ при всех $$x\in \mathbb{R},$$ то
$$D(y)=\mathbb{R}.$$
$$y=\sqrt{\cos x-1}$$
Требуется:
$$\cos x-1\ge 0,$$
то есть
$$\cos x\ge 1.$$
Это возможно только при
$$x=2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Следовательно,
$$D(y)=\{2\pi n\mid n\in \mathbb{Z}\}.$$
$$y=\lg(\sin x)$$
Для логарифма нужно, чтобы аргумент был положительным:
$$\sin x>0.$$
Отсюда
$$2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Значит,
$$D(y)=\bigcup_{n\in \mathbb{Z}}(2\pi n,\pi+2\pi n).$$
$$y=\sqrt{2\cos x-1}$$
Требуется:
$$2\cos x-1\ge 0,$$
то есть
$$\cos x\ge \frac12.$$
Следовательно,
$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Итак,
$$D(y)=\left[\,-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{\pi}{3}+2\pi n\,\right],\quad n\in \mathbb{Z}.$$
$$y=\sqrt{1-2\sin x}$$
Подкоренное выражение неотрицательно:
$$1-2\sin x\ge 0,$$
то есть
$$\sin x\le \frac12.$$
Отсюда
$$-\frac{7\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Значит,
$$D(y)=\left[\,-\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{\pi}{6}+2\pi n\,\right],\quad n\in \mathbb{Z}.$$
$$y=\ln(\cos x)$$
Для логарифма нужно:
$$\cos x>0.$$
Следовательно,
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Итак,
$$D(y)=\bigcup_{n\in \mathbb{Z}}\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n\right).$$
Ответ
1) $$D(y)=\mathbb{R}$$;
2) $$D(y)=\{2\pi n\mid n\in \mathbb{Z}\}$$;
3) $$D(y)=\bigcup_{n\in \mathbb{Z}}(2\pi n,\pi+2\pi n)$$;
4) $$D(y)=\left[\,-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{\pi}{3}+2\pi n\,\right],\ n\in \mathbb{Z}$$;
5) $$D(y)=\left[\,-\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{\pi}{6}+2\pi n\,\right],\ n\in \mathbb{Z}$$;
6) $$D(y)=\bigcup_{n\in \mathbb{Z}}\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n\right)$$.
