Упр.496 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 496 Сколько различных значений сопротивлений на участке цепи можно получить, имея в наличии три различных сопротивления /?„ R2 > Варианты соединения, дающие одинаковые сопротивления всего участка цепи, считать одинаковыми вариантами. Рассчитать все возможные сопротивления получаемых участков (применяя знания расчётов сопротивления при последовательном и параллельном соединении проводников). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 496 118

Подробный ответ

Имеются три различных сопротивления $$R_1,\;R_2,\;R_3.$$

Если соединять их только последовательно или только параллельно, получаем:

$$R=R_1+R_2+R_3,$$
$$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}.$$

Если одно сопротивление соединить последовательно с двумя другими, соединёнными параллельно, то возможны три варианта:

$$R_1+\frac{R_2R_3}{R_2+R_3},$$
$$R_2+\frac{R_1R_3}{R_1+R_3},$$
$$R_3+\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}.$$

Если, наоборот, два сопротивления соединить последовательно, а затем полученный участок соединить параллельно с третьим, то получаем ещё три варианта:

$$\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}+ \frac{1}{R_3} \text{ в виде } \frac{(R_1+R_2)R_3}{R_1+R_2+R_3},$$
$$\frac{(R_1+R_3)R_2}{R_1+R_2+R_3},$$
$$\frac{(R_2+R_3)R_1}{R_1+R_2+R_3}.$$

Таким образом, различных вариантов соединения, дающих различные сопротивления участка цепи, всего:

$$C_3^0+C_3^1+C_3^2+C_3^3=1+3+3+1=8.$$

Но два крайних случая — все три последовательно и все три параллельно — уже учтены, а остальные шесть соответствуют смешанным соединениям. Значит, всего можно получить 8 различных значений сопротивления.