Упр.49 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

В одной системе координат построить графики функций $$y=\cos x$$ и $$y=\frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^{2}x}}$$.

Преобразуем вторую функцию:

$$y=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 x}} =\frac{1}{\sqrt{\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}}} =\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2 x}}} =|\cos x|.$$

Значит, нужно построить графики функций $$y=\cos x$$ и $$y=|\cos x|$$ в одной системе координат.

Область определения второй функции:

$$\cos x\ne 0,\qquad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

График $$y=|\cos x|$$ получается из графика $$y=\cos x$$ отражением тех его частей, которые лежат ниже оси $$Ox$$, вверх относительно оси $$Ox$$. Поэтому на промежутках, где $$\cos x\ge 0$$, графики совпадают, а где $$\cos x<0$$, график $$y=|\cos x|$$ симметричен графику $$y=\cos x$$ относительно оси $$Ox$$.

Основные точки для построения:

• $$x=0:\ \cos 0=1,\ |\cos 0|=1$$;
• $$x=\pm \pi:\ \cos(\pm \pi)=-1,\ |\cos(\pm \pi)|=1$$;
• $$x=\pm \frac{\pi}{2},\ \pm \frac{3\pi}{2}:\ \cos x=0,\ |\cos x|=0$$.

По этим точкам строим оба графика в одной системе координат.

Ответ

$$y=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 x}}=|\cos x|,\qquad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
Графики: $$y=\cos x$$ и $$y=|\cos x|$$.