Упр.481 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) C4 0 + C4 1 + C4 2 + C4 3 + C4 4;
2) С7 0 + С7 1 + С7 2 + С7 3.

1) По формуле бинома Ньютона:

$$ C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = 2^4 = 16. $$

2) Используем свойство суммы биномиальных коэффициентов:

$$ C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 + C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7 = 2^7. $$

Тогда

$$ C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 = 2^7 — \left(C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7\right). $$

По свойству симметрии сочетаний:

$$ C_7^4 = C_7^3,\quad C_7^5 = C_7^2,\quad C_7^6 = C_7^1,\quad C_7^7 = C_7^0. $$

Значит, искомая сумма равна половине от $2^7$:

$$ C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 = \frac{2^7}{2} = 2^6 = 64. $$

Ответ

1) 16; 2) 64.