Упр.481 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Используя свойства числа сочетаний, найти:

1. 1) $$C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4$$; 2) $$C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3$$.

1) По формуле бинома Ньютона:

$$C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = 2^4 = 16.$$

2) Используем свойство суммы биномиальных коэффициентов:

$$C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 + C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7 = 2^7.$$

Тогда

$$C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 = 2^7 — \left(C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7\right).$$

По свойству симметрии сочетаний:

$$C_7^4 = C_7^3,\quad C_7^5 = C_7^2,\quad C_7^6 = C_7^1,\quad C_7^7 = C_7^0.$$

Значит, искомая сумма равна половине от $$2^7$$:

$$C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 = \frac{2^7}{2} = 2^6 = 64.$$

Ответ

1) 16; 2) 64.