Упр.48 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Построить график функции: 1) $$y=|\cos x|$$; 2) $$y=3-2\cos(x-1)$$; 3) $$y=\sin x\operatorname{ctg}x$$; 4) $$y=2\cos x$$.

1. $$y=|\cos x|.$$

   График функции $$y=\cos x$$ отражаем относительно оси $$Ox$$ те его части, где $$\cos x<0$$. Поэтому получаем периодическую функцию с периодом $$\pi$$ и значениями $$0\le y\le 1$$.

2. $$y=3-2\cos(x-1).$$

   Это график функции $$y=\cos x$$, сдвинутый вправо на $$1$$, растянутый по оси $$Oy$$ в $$2$$ раза, отражённый относительно оси $$Ox$$ и поднятый вверх на $$3$$.

   Так как $$-1\le \cos(x-1)\le 1$$, то

   $$1\le 3-2\cos(x-1)\le 5.$$

3. $$y=\sin x\cdot \ctg x.$$

   Преобразуем:

   $$y=\sin x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}=\cos x.$$

   Но при этом нужно учесть область определения:

   $$\sin x\ne 0,\quad x\ne \pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

   Значит, график совпадает с графиком $$y=\cos x$$, но в точках $$x=\pi n$$ выколоты точки.

4. $$y=2^{\cos x}.$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1$$, то

   $$2^{-1}\le 2^{\cos x}\le 2^1,$$

   то есть

   $$\frac12\le y\le 2.$$

   Для построения удобно отметить значения:

   $$\cos x=1 \Rightarrow y=2, \qquad \cos x=0 \Rightarrow y=1, \qquad \cos x=-1 \Rightarrow y=\frac12.$$

   График периодичен с периодом $$2\pi$$ и имеет максимум $$2$$ при $$x=2\pi n$$, минимум $$\frac12$$ при $$x=\pi+2\pi n$$.

Ответ

1) график $$y=|\cos x|$$ — отражение отрицательных участков графика $$y=\cos x$$ относительно оси $$Ox$$;
2) $$y=3-2\cos(x-1),\quad 1\le y\le 5$$;
3) $$y=\cos x,\ x\ne \pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
4) $$\frac12\le y\le 2$$.