Упр.473 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Решить относительно $$n$$ уравнение:

1. $$\frac{P_{n+2}}{P_n}=12$$;
2. $$\frac{1}{P_{n-4}}=\frac{20}{P_{n-2}}$$;
3. $$A_{n+1}^{4}=6n(n+1)$$;
4. $$A_{n-1}^{5}=2A_{n-2}^{5}$$;
5. $$\frac{C_{n+1}^{3}}{C_n^{4}}=\frac{8}{5}$$;
6. $$C_n^{3}=4C_{n-2}^{2}$$.

1. $$\frac{P_{n+2}}{P_n}=12$$
   $$\frac{(n+2)!}{n!}=12$$
   $$(n+2)(n+1)=12$$
   $$n^2+3n-10=0$$
   $$D=3^2+4\cdot 10=49$$
   $$n=\frac{-3\pm 7}{2}$$
   $$n_1=-5,\quad n_2=2$$
   Так как $$n\in \mathbb{N}$$, получаем $$n=2$$.
2. $$\frac{1}{P_{n-4}}=\frac{20}{P_{n-2}}$$
   $$\frac{1}{(n-4)!}=\frac{20}{(n-2)!}$$
   $$(n-2)! = (n-2)(n-3)(n-4)!$$
   $$\frac{1}{(n-4)!}=\frac{20}{(n-2)(n-3)(n-4)!}$$
   $$\frac{1}{1}=\frac{20}{(n-2)(n-3)}$$
   $$(n-2)(n-3)=20$$
   $$n^2-5n+6=20$$
   $$n^2-5n-14=0$$
   $$D=5^2+4\cdot 14=81$$
   $$n=\frac{5\pm 9}{2}$$
   $$n_1=-2,\quad n_2=7$$
   С учётом области определения $$n\ge 4$$, получаем $$n=7$$.
3. $$A_{n+1}^4=6n(n+1)$$
   $$\frac{(n+1)!}{(n-3)!}=6n(n+1)$$
   $$(n+1)n(n-1)(n-2)=6n(n+1)$$
   $$(n-1)(n-2)=6$$
   $$n^2-3n+2=6$$
   $$n^2-3n-4=0$$
   $$D=3^2+4\cdot 4=25$$
   $$n=\frac{3\pm 5}{2}$$
   $$n_1=-1,\quad n_2=4$$
   С учётом области определения $$n\ge 3$$, получаем $$n=4$$.
4. $$A_{n-1}^5=2A_{n-2}^5$$
   $$\frac{(n-1)!}{(n-6)!}=2\cdot \frac{(n-2)!}{(n-7)!}$$
   $$\frac{(n-1)(n-2)!}{(n-6)!}=2\cdot \frac{(n-2)!}{(n-7)!}$$
   $$\frac{n-1}{n-6}=2$$
   $$n-1=2n-12$$
   $$n=11$$
5. $$\frac{C_{n+1}^3}{C_n^4}=\frac{8}{5}$$
   $$\frac{\frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}}{\frac{n!}{4!(n-4)!}}=\frac{8}{5}$$
   $$\frac{(n+1)n!}{6(n-2)!}\cdot \frac{24(n-4)!}{n!}=\frac{8}{5}$$
   $$\frac{4(n+1)}{(n-2)(n-3)}=\frac{8}{5}$$
   $$20(n+1)=8(n-2)(n-3)$$
   $$20n+20=8n^2-40n+48$$
   $$2n^2-15n+7=0$$
   $$D=15^2-4\cdot 2\cdot 7=169$$
   $$n=\frac{15\pm 13}{4}$$
   $$n_1=\frac12,\quad n_2=7$$
   С учётом области определения $$n\ge 4$$, получаем $$n=7$$.
6. $$C_n^3=4C_{n-2}^2$$
   $$\frac{n!}{3!(n-3)!}=4\cdot \frac{(n-2)!}{2!(n-4)!}$$
   $$\frac{n(n-1)(n-2)!}{6(n-3)!}=4\cdot \frac{(n-2)!}{2(n-4)!}$$
   $$\frac{n(n-1)}{6(n-3)}=2$$
   $$n(n-1)=12(n-3)$$
   $$n^2-13n+36=0$$
   $$D=13^2-4\cdot 36=25$$
   $$n=\frac{13\pm 5}{2}$$
   $$n_1=4,\quad n_2=9$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$7$$; 3) $$4$$; 4) $$11$$; 5) $$7$$; 6) $$4,\,9$$.