Упр.47 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Построить график и установить свойства функции:

1. $$y=1+\cos x$$;
2. $$y=\cos 2x$$;
3. $$y=3\cos x$$;
4. $$y=2\cos x/2$$;
5. $$y=\cos 2x/2-1$$;
6. $$y=2-\cos 3x$$.

1. $$y=1+\cos x$$

   График получается из графика $$y=\cos x$$ сдвигом вверх на 1.

   $$D(x)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=[0;2], \quad T=2\pi.$$

   Функция чётная.

   $$y>0 \text{ при } x\in(-\pi+2\pi n;\,\pi+2\pi n), \quad n\in\mathbb Z.$$

   Возрастает на $$[-\pi+2\pi n;\,2\pi n]$$, убывает на $$[2\pi n;\,\pi+2\pi n]$$, $$n\in\mathbb Z$$.

2. $$y=\cos 2x$$

   Это график $$y=\cos x$$, сжатый по оси $$x$$ в 2 раза.

   $$D(x)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=[-1;1], \quad T=\pi.$$

   Функция чётная.

   $$y>0 \text{ при } x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right), \quad n\in\mathbb Z.$$

   $$y<0 \text{ при } x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right), \quad n\in\mathbb Z.$$

   Возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right]$$, $$n\in\mathbb Z$$.

3. $$y=3\cos x$$

   График получается растяжением графика $$y=\cos x$$ по оси $$y$$ в 3 раза.

   $$D(x)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=[-3;3], \quad T=2\pi.$$

   Функция чётная.

   $$y>0 \text{ при } x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right), \quad n\in\mathbb Z.$$

   $$y<0 \text{ при } x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right), \quad n\in\mathbb Z.$$

   Возрастает на $$[-\pi+2\pi n;\,2\pi n]$$, убывает на $$[2\pi n;\,\pi+2\pi n]$$, $$n\in\mathbb Z$$.

4. $$y=2\cos\frac{x}{2}$$

   Это график $$y=\cos x$$, растянутый по оси $$x$$ в 2 раза и по оси $$y$$ в 2 раза.

   $$D(x)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=[-2;2], \quad T=4\pi.$$

   Функция чётная.

   $$y>0 \text{ при } x\in(-\pi+4\pi n;\,\pi+4\pi n), \quad n\in\mathbb Z.$$

   $$y<0 \text{ при } x\in(\pi+4\pi n;\,3\pi+4\pi n), \quad n\in\mathbb Z.$$

   Возрастает на $$[-2\pi+4\pi n;\,4\pi n]$$, убывает на $$[4\pi n;\,2\pi+4\pi n]$$, $$n\in\mathbb Z$$.

5. $$y=\frac{\cos 2x}{2}-1$$

   График получается из $$y=\cos 2x$$ сжатием по оси $$y$$ в 2 раза и сдвигом вниз на 1.

   $$D(x)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=\left[-\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right], \quad T=\pi.$$

   Функция чётная.

   $$y<0 \text{ при всех } x\in(-\infty;+\infty).$$

   Возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right]$$, $$n\in\mathbb Z$$.

6. $$y=2-\cos 3x$$

   График получается из $$y=\cos x$$ сжатием по оси $$x$$ в 3 раза, отражением относительно оси $$x$$ и сдвигом вверх на 2.

   $$D(x)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=[1;3], \quad T=\frac{2\pi}{3}.$$

   Функция чётная.

   $$y>0 \text{ при всех } x\in(-\infty;+\infty).$$

   Возрастает на $$\left[\frac{2\pi n}{3};\,\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3};\,\frac{2\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}\right]$$, $$n\in\mathbb Z$$.

Ответ

Для всех шести функций построены графики и указаны основные свойства: область определения, область значений, периодичность, чётность, промежутки знакопостоянства и монотонности.