Упр.47 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
1) у= 1+cosx;
2) y = cos2x;
3) y = 3cosx;
4) y = 2cosx/2;
5) y= cos2x/2 — 1;
6) у = 2 — cos 3x.
$$y=1+\cos x$$
График получается из графика $$y=\cos x$$ сдвигом вверх на 1.
$$D(x)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=[0;2], \quad T=2\pi.$$
Функция чётная.
$$y>0 \text{ при } x\in(-\pi+2\pi n;\,\pi+2\pi n), \quad n\in\mathbb Z.$$
Возрастает на $$[-\pi+2\pi n;\,2\pi n]$$, убывает на $$[2\pi n;\,\pi+2\pi n]$$, $$n\in\mathbb Z$$.
$$y=\cos 2x$$
Это график $$y=\cos x$$, сжатый по оси $$x$$ в 2 раза.
$$D(x)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=[-1;1], \quad T=\pi.$$
Функция чётная.
$$y>0 \text{ при } x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right), \quad n\in\mathbb Z.$$
$$y<0 \text{ при } x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right), \quad n\in\mathbb Z.$$
Возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right]$$, $$n\in\mathbb Z$$.
$$y=3\cos x$$
График получается растяжением графика $$y=\cos x$$ по оси $$y$$ в 3 раза.
$$D(x)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=[-3;3], \quad T=2\pi.$$
Функция чётная.
$$y>0 \text{ при } x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right), \quad n\in\mathbb Z.$$
$$y<0 \text{ при } x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right), \quad n\in\mathbb Z.$$
Возрастает на $$[-\pi+2\pi n;\,2\pi n]$$, убывает на $$[2\pi n;\,\pi+2\pi n]$$, $$n\in\mathbb Z$$.
$$y=2\cos\frac{x}{2}$$
Это график $$y=\cos x$$, растянутый по оси $$x$$ в 2 раза и по оси $$y$$ в 2 раза.
$$D(x)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=[-2;2], \quad T=4\pi.$$
Функция чётная.
$$y>0 \text{ при } x\in(-\pi+4\pi n;\,\pi+4\pi n), \quad n\in\mathbb Z.$$
$$y<0 \text{ при } x\in(\pi+4\pi n;\,3\pi+4\pi n), \quad n\in\mathbb Z.$$
Возрастает на $$[-2\pi+4\pi n;\,4\pi n]$$, убывает на $$[4\pi n;\,2\pi+4\pi n]$$, $$n\in\mathbb Z$$.
$$y=\frac{\cos 2x}{2}-1$$
График получается из $$y=\cos 2x$$ сжатием по оси $$y$$ в 2 раза и сдвигом вниз на 1.
$$D(x)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=\left[-\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right], \quad T=\pi.$$
Функция чётная.
$$y<0 \text{ при всех } x\in(-\infty;+\infty).$$
Возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right]$$, $$n\in\mathbb Z$$.
$$y=2-\cos 3x$$
График получается из $$y=\cos x$$ сжатием по оси $$x$$ в 3 раза, отражением относительно оси $$x$$ и сдвигом вверх на 2.
$$D(x)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=[1;3], \quad T=\frac{2\pi}{3}.$$
Функция чётная.
$$y>0 \text{ при всех } x\in(-\infty;+\infty).$$
Возрастает на $$\left[\frac{2\pi n}{3};\,\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3};\,\frac{2\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}\right]$$, $$n\in\mathbb Z$$.
Ответ
Для всех шести функций построены графики и указаны основные свойства: область определения, область значений, периодичность, чётность, промежутки знакопостоянства и монотонности.
