Упр.465 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 465 С помощью математической индукции доказать справедливость формулы (6).

Подробный ответ

Докажем по индукции формулу

$$C_m^0+C_m^1+C_m^2+\dots+C_m^{m-1}+C_m^m=2^m.$$

1. База индукции. При $$m=1$$ имеем:

$$C_1^0+C_1^1=1+1=2=2^1.$$

2. Индукционный переход. Пусть для некоторого $$m=k$$ верно:

$$C_k^0+C_k^1+C_k^2+\dots+C_k^{k-1}+C_k^k=2^k.$$

Докажем, что тогда верно и для $$m=k+1$$:

$$C_{k+1}^0+C_{k+1}^1+C_{k+1}^2+\dots+C_{k+1}^{k}+C_{k+1}^{k+1}=2^{k+1}.$$

По формуле Паскаля

$$C_{k+1}^n=C_k^{n-1}+C_k^n.$$

Тогда

$$ \begin{aligned} C_{k+1}^0+C_{k+1}^1+\dots+C_{k+1}^{k}+C_{k+1}^{k+1} &=1+(C_k^0+C_k^1)+(C_k^1+C_k^2)+\dots+(C_k^{k-1}+C_k^k)+1 \\ &=\bigl(C_k^0+C_k^1+\dots+C_k^k\bigr)+\bigl(1+C_k^1+C_k^2+\dots+C_k^{k-1}+1\bigr) \\ &=2\bigl(C_k^0+C_k^1+\dots+C_k^k\bigr) \\ &=2\cdot 2^k=2^{k+1}. \end{aligned} $$

Следовательно, формула верна для любого натурального $$m$$.