Упр.462 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 462. Найти член разложения (корень x + 1/корень 3 степени x)16, содержащий х3.

Общий член разложения бинома

$$\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{16}$$

имеет вид

$$C_{16}^k(\sqrt{x})^{16-k}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^k.$$

Преобразуем степень при $x$:

$$C_{16}^k x^{\frac{16-k}{2}}x^{-\frac{k}{3}}=C_{16}^k x^{8-\frac{5k}{6}}.$$

Нужен член, содержащий $$x^3,$$ значит

$$8-\frac{5k}{6}=3.$$

Решаем уравнение:

$$\frac{5k}{6}=5,$$

$$k=6.$$

Тогда искомый коэффициент равен

$$C_{16}^6=\frac{16!}{6!\,10!}=8008.$$

Следовательно, искомый член разложения:

$$8008x^3.$$

Ответ

$$8008x^3$$