Упр.462 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти член разложения $$\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{16}$$, содержащий $$x^3$$.

Общий член разложения бинома

$$\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{16}$$

имеет вид

$$C_{16}^k(\sqrt{x})^{16-k}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^k.$$

Преобразуем степень при $$x$$:

$$C_{16}^k x^{\frac{16-k}{2}}x^{-\frac{k}{3}}=C_{16}^k x^{8-\frac{5k}{6}}.$$

Нужен член, содержащий $$x^3,$$ значит

$$8-\frac{5k}{6}=3.$$

Решаем уравнение:

$$\frac{5k}{6}=5,$$

$$k=6.$$

Тогда искомый коэффициент равен

$$C_{16}^6=\frac{16!}{6!\,10!}=8008.$$

Следовательно, искомый член разложения:

$$8008x^3.$$

Ответ

$$8008x^3$$