Упр.461 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти член разложения $$\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{10}$$, содержащий $$x^2$$.

По формуле бинома Ньютона:

$$\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{10}=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^k (\sqrt{x})^{10-k}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^k.$$

Общий член разложения имеет вид:

$$C_{10}^k(\sqrt{x})^{10-k}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^k=C_{10}^k(\sqrt{x})^{10-2k}=C_{10}^k x^{\frac{10-2k}{2}}=C_{10}^k x^{5-k}.$$

Нужен член, содержащий $$x^2$$, значит:

$$5-k=2,$$

$$k=3.$$

Тогда коэффициент равен:

$$C_{10}^3=\frac{10!}{3!\,7!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=120.$$

Искомый член разложения:

$$120x^2.$$

Ответ

$$120x^2$$