Упр.46 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Сколько решений имеет система уравнений:

1. $$\begin{cases} y=\frac{\cos x}{2},\\ y=x^2+6x-8; \end{cases}$$
2. $$\begin{cases} y=\cos x,\\ y=\log_7 x? \end{cases}$$

1. Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} y=\cos \dfrac{x}{2},\\ y=-x^2+6x-8. \end{cases}$$

   Вторая функция — парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём её вершину:

   $$x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{6}{2\cdot(-1)}=3,$$

   $$y_0=-3^2+6\cdot 3-8=1.$$

   Значит, максимум параболы равен $$1$$, а график функции $$y=\cos \dfrac{x}{2}$$ принимает значения от $$-1$$ до $$1$$. По графику видно, что пересечение происходит в двух точках.

   Следовательно, система имеет 2 решения.

2. Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} y=\cos x,\\ y=\log_7 x. \end{cases}$$

   Область определения второй функции: $$x>0$$. График $$y=\log_7 x$$ возрастает, а график $$y=\cos x$$ колеблется между $$-1$$ и $$1$$.

   По графику видно три точки пересечения графиков.

   Следовательно, система имеет 3 решения.

Ответ

1) $$2$$ решения; 2) $$3$$ решения.