Упр.458 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Доказать свойство числа сочетаний $$C_m n=C_m\ m-n$$.

По формуле числа сочетаний имеем:

$$C_m^n=\frac{m!}{n!(m-n)!}.$$

Рассмотрим число сочетаний с числом выбираемых элементов $$m-n$$:

$$C_m^{m-n}=\frac{m!}{(m-n)!\bigl(m-(m-n)\bigr)!}.$$

Упростим выражение в знаменателе:

$$m-(m-n)=n,$$

значит

$$C_m^{m-n}=\frac{m!}{(m-n)!n!}=\frac{m!}{n!(m-n)!}.$$

Следовательно,

$$C_m^n=C_m^{m-n}.$$

Ответ

$$C_m^n=C_m^{m-n}.$$