Упр.457 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) Сx 2 + Сx 3 = 15(x-1);
2) Сx-1 3 + Сx-1 2 = 15(x-2).

1. $$C_x^2 + C_x^3 = 15(x-1)$$

   Используем формулы сочетаний:

   $$C_x^2=\frac{x(x-1)}{2}, \qquad C_x^3=\frac{x(x-1)(x-2)}{6}.$$

   Тогда

   $$\frac{x(x-1)}{2}+\frac{x(x-1)(x-2)}{6}=15(x-1).$$

   Вынесем $$x(x-1)$$ за скобки:

   $$x(x-1)\left(\frac12+\frac{x-2}{6}\right)=15(x-1).$$

   $$x(x-1)\cdot \frac{x+1}{6}=15(x-1).$$

   Так как $$x\ge 3$$, то $$x-1\ne 0$$, можно сократить на $$x-1$$:

   $$x(x+1)=90.$$

   $$x^2+x-90=0.$$

   $$D=1+360=361,$$

   $$x=\frac{-1\pm 19}{2}.$$

   Получаем $$x=9$$ или $$x=-10$$. По условию подходит только $$x=9$$.

2. $$C_{x-1}^3 + C_{x-1}^2 = 15(x-2)$$

   Используем формулы сочетаний:

   $$C_{x-1}^3=\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{6}, \qquad C_{x-1}^2=\frac{(x-1)(x-2)}{2}.$$

   Тогда

   $$\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{6}+\frac{(x-1)(x-2)}{2}=15(x-2).$$

   Вынесем $$ (x-1)(x-2) $$ за скобки:

   $$ (x-1)(x-2)\left(\frac{x-3}{6}+\frac12\right)=15(x-2). $$

   $$ (x-1)(x-2)\cdot \frac{x}{6}=15(x-2). $$

   Так как $$x\ge 4$$, то $$x-2\ne 0$$, сокращаем на $$x-2$$:

   $$x(x-1)=90.$$

   $$x^2-x-90=0.$$

   $$D=1+360=361,$$

   $$x=\frac{1\pm 19}{2}.$$

   Получаем $$x=10$$ или $$x=-9$$. По условию подходит только $$x=10$$.

Ответ

1) $$9$$; 2) $$10$$.