Упр.45 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

С помощью графиков выяснить, имеет ли решение система уравнений:

1. $$\begin{cases} y=\log_2 x-1,\\ y=\cos x; \end{cases}$$
2. $$\begin{cases} y=\dfrac{x^2+2}{x^2},\\ y=\cos x. \end{cases}$$

1) Рассмотрим графики функций $$y=\log_2 x-1$$ и $$y=\cos x$$.

Область определения первой функции: $$x>0$$. График $$y=\log_2 x-1$$ возрастает, а график $$y=\cos x$$ колеблется между $$-1$$ и $$1$$. По графику видно, что они пересекаются, значит система имеет решение.

Ответ: да.

2) Преобразуем первую функцию:

$$y=\frac{x^2+2}{x^2}=1+\frac{2}{x^2}, \qquad x\ne 0.$$

Так как $$\frac{2}{x^2}>0$$ при любом $$x\ne 0$$, то

$$y=1+\frac{2}{x^2}>1.$$

А для функции $$y=\cos x$$ всегда $$-1\le \cos x\le 1$$, причём значение $$1$$ достигается только при $$x=2\pi k$$, но тогда $$1+\frac{2}{x^2}>1$$. Следовательно, графики не пересекаются.

Ответ: нет.