Упр.444 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 444. Доказать, что An k+1 = (n-k)Аn k, где k < n, k принадлежит N, n принадлежит N. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 444 118

Используем формулу числа размещений:

$$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}.$$

Тогда

$$A_n^{k+1}=\frac{n!}{(n-k-1)!}.$$

Преобразуем правую часть равенства:

$$ (n-k)A_n^k=(n-k)\cdot \frac{n!}{(n-k)!} =\frac{(n-k)n!}{(n-k)(n-k-1)!} =\frac{n!}{(n-k-1)!}. $$

Получили

$$A_n^{k+1}=(n-k)A_n^k.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$A_n^{k+1}=(n-k)A_n^k.$$