Упр.444 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Доказать, что $$A_n^{k+1}=(n-k)A_n^k$$, где $$k

Используем формулу числа размещений:

$$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}.$$

Тогда

$$A_n^{k+1}=\frac{n!}{(n-k-1)!}.$$

Преобразуем правую часть равенства:

$$(n-k)A_n^k=(n-k)\cdot \frac{n!}{(n-k)!} =\frac{(n-k)n!}{(n-k)(n-k-1)!} =\frac{n!}{(n-k-1)!}.$$

Получили

$$A_n^{k+1}=(n-k)A_n^k.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$A_n^{k+1}=(n-k)A_n^k.$$