Упр.441 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Решить относительно $$m$$ уравнение:

1. $$A_m^2=90$$;
2. $$A_m^3=56m$$;
3. $$A_{m+1}^2=156$$;
4. $$A_m^5=18A_{m-2}^4$$.

1. $$A_m^2=90$$
   
   $$\frac{m!}{(m-2)!}=90$$
   
   $$m(m-1)=90$$
   
   $$m^2-m-90=0$$
   
   $$D=1+360=361$$
   
   $$m=\frac{1\pm 19}{2}$$
   
   $$m_1=10,\quad m_2=-9$$
   
   Так как $$m\ge 2$$, получаем $$m=10$$.
2. $$A_m^3=56m$$
   
   $$\frac{m!}{(m-3)!}=56m$$
   
   $$m(m-1)(m-2)=56m$$
   
   $$m\ne 0,\ \text{поэтому } (m-1)(m-2)=56$$
   
   $$m^2-3m+2=56$$
   
   $$m^2-3m-54=0$$
   
   $$D=9+216=225$$
   
   $$m=\frac{3\pm 15}{2}$$
   
   $$m_1=9,\quad m_2=-6$$
   
   Так как $$m\ge 3$$, получаем $$m=9$$.
3. $$A_{m+1}^2=156$$
   
   $$\frac{(m+1)!}{(m-1)!}=156$$
   
   $$(m+1)m=156$$
   
   $$m^2+m-156=0$$
   
   $$D=1+624=625$$
   
   $$m=\frac{-1\pm 25}{2}$$
   
   $$m_1=12,\quad m_2=-13$$
   
   Так как $$m+1\ge 2$$, то $$m\ge 1$$. Следовательно, $$m=12$$.
4. $$A_m^5=18A_{m-2}^4$$
   
   $$\frac{m!}{(m-5)!}=18\cdot \frac{(m-2)!}{(m-6)!}$$
   
   $$m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)=18(m-2)(m-3)(m-4)(m-5)$$
   
   Так как $$m\ge 6$$, можно сократить на $$(m-2)(m-3)(m-4)$$:
   
   $$m(m-1)=18(m-5)$$
   
   $$m^2-m=18m-90$$
   
   $$m^2-19m+90=0$$
   
   $$D=361-360=1$$
   
   $$m=\frac{19\pm 1}{2}$$
   
   $$m_1=9,\quad m_2=10$$
   
   Оба значения удовлетворяют условию $$m\ge 6$$.

Ответ

1) $$10$$; 2) $$9$$; 3) $$12$$; 4) $$9,\,10$$.