Упр.43 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 43. Найти промежутки возрастания функции у = cos2x + sin2x на отрезке [0; 2пи]. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 43 118

Преобразуем функцию:

$$y=\cos 2x+\sin^2 x.$$

Так как $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2},$$ то

$$ y=\cos 2x+\frac{1-\cos 2x}{2} =\frac{1+\cos 2x}{2} =\cos^2 x. $$

Теперь найдём промежутки возрастания функции $$y=\cos^2 x$$ на отрезке $$[0;2\pi].$$

Производная:

$$y’ = 2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin 2x.$$

Функция возрастает там, где $$y’>0,$$ то есть

$$-\sin 2x>0 \quad \Longleftrightarrow \quad \sin 2x<0.$$

На отрезке $$[0;2\pi]$$ это выполняется при

$$ 2x\in(\pi;2\pi)\cup(3\pi;4\pi), $$

откуда

$$ x\in\left(\frac{\pi}{2};\pi\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2};2\pi\right). $$

Если учитывать точки, в которых производная равна нулю, как границы промежутков возрастания, то получаем:

$$ \left[\frac{\pi}{2};\pi\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2};2\pi\right]. $$

Ответ

$$\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2};2\pi\right].$$