Упр.43 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти промежутки возрастания функции $$y=\cos 2x+\sin 2x$$ на отрезке $$[0;2\pi]$$.

Преобразуем функцию:

$$y=\cos 2x+\sin^2 x.$$

Так как $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2},$$ то

$$y=\cos 2x+\frac{1-\cos 2x}{2} =\frac{1+\cos 2x}{2} =\cos^2 x.$$

Теперь найдём промежутки возрастания функции $$y=\cos^2 x$$ на отрезке $$[0;2\pi].$$

Производная:

$$y’ = 2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin 2x.$$

Функция возрастает там, где $$y’>0,$$ то есть

$$-\sin 2x>0 \quad \Longleftrightarrow \quad \sin 2x<0.$$

На отрезке $$[0;2\pi]$$ это выполняется при

$$2x\in(\pi;2\pi)\cup(3\pi;4\pi),$$

откуда

$$x\in\left(\frac{\pi}{2};\pi\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2};2\pi\right).$$

Если учитывать точки, в которых производная равна нулю, как границы промежутков возрастания, то получаем:

$$\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2};2\pi\right].$$

Ответ

$$\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2};2\pi\right].$$