Упр.428 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Решить уравнение относительно $$n$$:
   1) $$\frac{P_n}{P_{n+1}}=\frac{1}{3}$$;
   2) $$\frac{nP_{n-2}}{P_n}=0{,}1$$;
   3) $$\frac{2P_{n-1}}{P_{n+1}}-1=0$$.

1. $$\frac{P_n}{P_{n+1}}=\frac13$$
   
   Так как $$P_n=n!,$$ то
   $$\frac{n!}{(n+1)!}=\frac13,$$
   $$\frac{1}{n+1}=\frac13,$$
   $$n+1=3,$$
   $$n=2.$$
2. $$\frac{nP_{n-2}}{P_n}=0{,}1$$
   
   Подставим формулу $$P_n=n!$$:
   $$\frac{n\cdot (n-2)!}{n!}=0{,}1,$$
   $$\frac{n\cdot (n-2)!}{n(n-1)(n-2)!}=0{,}1,$$
   $$\frac{1}{n-1}=0{,}1=\frac{1}{10},$$
   $$n-1=10,$$
   $$n=11.$$
3. $$\frac{2P_{n-1}}{P_{n+1}}-1=0$$
   
   Тогда
   $$\frac{2(n-1)!}{(n+1)!}=1,$$
   $$\frac{2(n-1)!}{(n+1)n(n-1)!}=1,$$
   $$\frac{2}{n(n+1)}=1,$$
   $$n(n+1)=2,$$
   $$n^2+n-2=0,$$
   $$(n-1)(n+2)=0.$$
   Получаем $$n=1$$ или $$n=-2.$$
   Так как $$n$$ — натуральное число, подходит только $$n=1.$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$11$$; 3) $$1$$.