Упр.42 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти множество значений функции $$y=\cos x$$, если $$x$$ принадлежит промежутку: 1) $$\left[\frac{\pi}{3};\pi\right]$$; 2) $$\left(\frac{5\pi}{4};\frac{7\pi}{4}\right)$$.

1) Если $$x \in \left[\frac{\pi}{3}; \pi\right],$$ то функция $$y=\cos x$$ убывает на этом промежутке. Поэтому наибольшее значение она принимает при $$x=\frac{\pi}{3},$$ а наименьшее — при $$x=\pi.$$

$$\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}, \qquad \cos \pi=-1.$$

Следовательно,

$$E(y)=\left[-1;\frac{1}{2}\right].$$

2) Если $$x \in \left(\frac{5\pi}{4};\frac{7\pi}{4}\right),$$ то

$$\cos \frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos \frac{7\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

На промежутке $$\left(\frac{5\pi}{4};\frac{7\pi}{4}\right)$$ функция $$y=\cos x$$ принимает все значения между этими числами, но сами концы не входят, так как промежуток открытый.

Значит,

$$E(y)=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$$

Ответ

1) $$\left[-1;\frac{1}{2}\right]$$; 2) $$\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$$