Упр.41 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти все принадлежащие промежутку $$-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{3\pi}{2}$$ решения неравенства:

1. а) $$\cos 2x<\frac{1}{2}$$; б) $$\cos 3x>\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

1. Решим неравенство $$\cos 2x<\frac12$$ на промежутке $$-\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{3\pi}{2}.$$

   Значения, при которых $$\cos t<\frac12,$$ имеют вид

   $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Положим $$t=2x$$. Тогда

   $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<2x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,$$

   $$\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Пересечём с промежутком $$-\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{3\pi}{2}.$$ Получаем

   $$x\in\left[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{7\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right].$$

2. Решим неравенство $$\cos 3x>\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Для косинуса это означает

   $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<3x<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Делим на $$3$$:

   $$-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

   На промежутке $$-\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{3\pi}{2}$$ получаем

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{18},\frac{\pi}{18}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{18},\frac{13\pi}{18}\right)\cup\left(\frac{23\pi}{18},\frac{25\pi}{18}\right).$$

Ответ

1) $$x\in\left[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{7\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right].$$

2) $$x\in\left(-\frac{\pi}{18},\frac{\pi}{18}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{18},\frac{13\pi}{18}\right)\cup\left(\frac{23\pi}{18},\frac{25\pi}{18}\right).$$