Упр.408 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Доказать, что при любом натуральном $$n$$ число:

1. $$6^{2n-1}+1$$ делится на $$7$$;
2. $$4^n+15^n-1$$ делится на $$9$$.

Докажем утверждения методом математической индукции.

1. Докажем, что $$6^{2n-1}+1$$ делится на $$7$$ при любом натуральном $$n$$.

   База индукции: при $$n=1$$

   $$6^{2\cdot 1-1}+1=6+1=7,$$

   значит, число делится на $$7$$.

   Переход: пусть для некоторого $$n=k$$ утверждение верно, то есть $$6^{2k-1}+1$$ делится на $$7$$. Докажем для $$n=k+1$$:

   $$6^{2(k+1)-1}+1=6^{2k+1}+1=36\cdot 6^{2k-1}+1.$$

   Преобразуем:

   $$36\cdot 6^{2k-1}+1=36(6^{2k-1}+1)-35.$$

   Так как $$36(6^{2k-1}+1)$$ делится на $$7$$ по предположению индукции, а $$35$$ делится на $$7$$, то и всё выражение делится на $$7$$.

2. Докажем, что $$4^n+15n-1$$ делится на $$9$$ при любом натуральном $$n$$.

   База индукции: при $$n=1$$

   $$4^1+15\cdot 1-1=18,$$

   значит, число делится на $$9$$.

   Переход: пусть для некоторого $$n=k$$ утверждение верно, то есть $$4^k+15k-1$$ делится на $$9$$. Докажем для $$n=k+1$$:

   $$4^{k+1}+15(k+1)-1=4\cdot 4^k+15k+14.$$

   Преобразуем:

   $$4\cdot 4^k+15k+14=4(4^k+15k-1)-9(5k-2).$$

   Первое слагаемое делится на $$9$$ по предположению индукции, второе тоже делится на $$9$$. Следовательно, всё выражение делится на $$9$$.

Ответ

1) $$6^{2n-1}+1$$ делится на $$7$$ при любом натуральном $$n$$; 2) $$4^n+15n-1$$ делится на $$9$$ при любом натуральном $$n$$.