Упр.408 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
1) 6^2n-1 + 1 делится на 7;
2) 4n + 15n — 1 делится на 9.
Докажем утверждения методом математической индукции.
Докажем, что $$6^{2n-1}+1$$ делится на $$7$$ при любом натуральном $$n$$.
База индукции: при $$n=1$$
$$6^{2\cdot 1-1}+1=6+1=7,$$
значит, число делится на $$7$$.
Переход: пусть для некоторого $$n=k$$ утверждение верно, то есть $$6^{2k-1}+1$$ делится на $$7$$. Докажем для $$n=k+1$$:
$$ 6^{2(k+1)-1}+1=6^{2k+1}+1=36\cdot 6^{2k-1}+1. $$
Преобразуем:
$$ 36\cdot 6^{2k-1}+1=36(6^{2k-1}+1)-35. $$
Так как $$36(6^{2k-1}+1)$$ делится на $$7$$ по предположению индукции, а $$35$$ делится на $$7$$, то и всё выражение делится на $$7$$.
Докажем, что $$4^n+15n-1$$ делится на $$9$$ при любом натуральном $$n$$.
База индукции: при $$n=1$$
$$4^1+15\cdot 1-1=18,$$
значит, число делится на $$9$$.
Переход: пусть для некоторого $$n=k$$ утверждение верно, то есть $$4^k+15k-1$$ делится на $$9$$. Докажем для $$n=k+1$$:
$$ 4^{k+1}+15(k+1)-1=4\cdot 4^k+15k+14. $$
Преобразуем:
$$ 4\cdot 4^k+15k+14=4(4^k+15k-1)-9(5k-2). $$
Первое слагаемое делится на $$9$$ по предположению индукции, второе тоже делится на $$9$$. Следовательно, всё выражение делится на $$9$$.
Ответ
1) $$6^{2n-1}+1$$ делится на $$7$$ при любом натуральном $$n$$; 2) $$4^n+15n-1$$ делится на $$9$$ при любом натуральном $$n$$.
