Упр.407 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Методом математической индукции доказать:

1. формулу суммы $$S_n$$ первых $$n$$ членов арифметической прогрессии $$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$$, где $$a_1$$ — первый член, $$d$$ — разность арифметической прогрессии;
2. формулу суммы $$S_n$$ первых $$n$$ членов геометрической прогрессии $$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$$, где $$b_1$$ — первый член, $$q$$ — знаменатель геометрической прогрессии, $$q\ne1$$.

Докажем обе формулы методом математической индукции.

1. Сумма первых $$n$$ членов арифметической прогрессии:

   $$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n.$$

   1) База индукции. При $$n=1$$:

   $$S_1=\frac{2a_1+(1-1)d}{2}\cdot 1=a_1,$$

   что верно.

   2) Индукционный переход. Пусть для $$n=k$$ формула верна:

   $$S_k=\frac{2a_1+(k-1)d}{2}\cdot k.$$

   Докажем, что тогда она верна и для $$n=k+1$$:

   $$S_{k+1}=S_k+a_{k+1}.$$

   Так как $$a_{k+1}=a_1+kd,$$ то

   $$S_{k+1}=\frac{2a_1+(k-1)d}{2}\cdot k+a_1+kd.$$

   Приведём к общему виду:

   $$S_{k+1}=\frac{k(2a_1+(k-1)d)+2a_1+2kd}{2} =\frac{(k+1)(2a_1+kd)}{2}.$$

   Но это и есть

   $$S_{k+1}=\frac{2a_1+kd}{2}\cdot (k+1) =\frac{2a_1+((k+1)-1)d}{2}\cdot (k+1).$$

   Следовательно, формула верна для любого $$n\in\mathbb N$$.

2. Сумма первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:

   $$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}, \quad q\ne 1.$$

   1) База индукции. При $$n=1$$:

   $$S_1=\frac{b_1(q^1-1)}{q-1}=b_1,$$

   что верно.

   2) Индукционный переход. Пусть для $$n=k$$ формула верна:

   $$S_k=\frac{b_1(q^k-1)}{q-1}.$$

   Докажем, что тогда она верна и для $$n=k+1$$:

   $$S_{k+1}=S_k+b_{k+1}.$$

   Так как $$b_{k+1}=b_1q^k,$$ то

   $$S_{k+1}=\frac{b_1(q^k-1)}{q-1}+b_1q^k.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$S_{k+1}=\frac{b_1(q^k-1)+b_1q^k(q-1)}{q-1} =\frac{b_1(q^{k+1}-1)}{q-1}.$$

   Это и есть требуемая формула для $$n=k+1$$.

   Следовательно, формула верна для любого $$n\in\mathbb N$$.

Ответ

Обе формулы доказаны методом математической индукции.