Упр.407 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) формулу суммы Sn первых n членов арифметической прогрессии Sn = 2a2 + (n-1) d/2 *n, где а1 — первый член, d — разность арифметической прогрессии;
2) формулу суммы Sn первых n членов геометрической прогрессии Sn = b1(qn-1)/q-1, где b1 — первый член, q — знаменатель геометрической прогрессии, q=/1.

Подробный ответ

Докажем обе формулы методом математической индукции.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n.$$
1) База индукции. При $n=1$:
$$S_1=\frac{2a_1+(1-1)d}{2}\cdot 1=a_1,$$
что верно.
2) Индукционный переход. Пусть для $n=k$ формула верна:
$$S_k=\frac{2a_1+(k-1)d}{2}\cdot k.$$
Докажем, что тогда она верна и для $n=k+1$:
$$ S_{k+1}=S_k+a_{k+1}. $$
Так как $$a_{k+1}=a_1+kd,$$ то
$$ S_{k+1}=\frac{2a_1+(k-1)d}{2}\cdot k+a_1+kd. $$
Приведём к общему виду:
$$ S_{k+1}=\frac{k(2a_1+(k-1)d)+2a_1+2kd}{2} =\frac{(k+1)(2a_1+kd)}{2}. $$
Но это и есть
$$ S_{k+1}=\frac{2a_1+kd}{2}\cdot (k+1) =\frac{2a_1+((k+1)-1)d}{2}\cdot (k+1). $$
Следовательно, формула верна для любого $n\in\mathbb N$.
Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии:
$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}, \quad q\ne 1.$$
1) База индукции. При $n=1$:
$$S_1=\frac{b_1(q^1-1)}{q-1}=b_1,$$
что верно.
2) Индукционный переход. Пусть для $n=k$ формула верна:
$$S_k=\frac{b_1(q^k-1)}{q-1}.$$
Докажем, что тогда она верна и для $n=k+1$:
$$ S_{k+1}=S_k+b_{k+1}. $$
Так как $$b_{k+1}=b_1q^k,$$ то
$$ S_{k+1}=\frac{b_1(q^k-1)}{q-1}+b_1q^k. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ S_{k+1}=\frac{b_1(q^k-1)+b_1q^k(q-1)}{q-1} =\frac{b_1(q^{k+1}-1)}{q-1}. $$
Это и есть требуемая формула для $n=k+1$.
Следовательно, формула верна для любого $n\in\mathbb N$.