Упр.406 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
Докажем по индукции формулу
$$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$
При $$n=1$$ имеем:
$$1^2=1=\frac{1\cdot(1+1)\cdot(2\cdot1+1)}{6}.$$
Пусть для $$n=k$$ формула верна:
$$1^2+2^2+\dots+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.$$
Докажем её для $$n=k+1$$:
$$1^2+2^2+\dots+k^2+(k+1)^2 =\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2.$$
$$\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2 =\frac{(k+1)\bigl(k(2k+1)+6(k+1)\bigr)}{6}$$
$$=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6} =\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}.$$
Это и есть формула при $$n=k+1$$.
Докажем по индукции формулу
$$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=\frac{(n+1)^2n^2}{4}.$$
При $$n=1$$:
$$1^3=1=\frac{(1+1)^2\cdot1^2}{4}.$$
Пусть при $$n=k$$ верно:
$$1^3+2^3+\dots+k^3=\frac{(k+1)^2k^2}{4}.$$
Тогда при $$n=k+1$$:
$$1^3+2^3+\dots+k^3+(k+1)^3 =\frac{(k+1)^2k^2}{4}+(k+1)^3.$$
$$\frac{(k+1)^2k^2}{4}+(k+1)^3 =\frac{(k+1)^2\bigl(k^2+4k+4\bigr)}{4} =\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}.$$
Формула доказана.
Докажем по индукции формулу
$$1^3+3^3+5^3+\dots+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1).$$
При $$n=1$$:
$$1^3=1^2(2\cdot1^2-1).$$
Пусть при $$n=k$$ верно:
$$1^3+3^3+\dots+(2k-1)^3=k^2(2k^2-1).$$
Тогда при $$n=k+1$$:
$$1^3+3^3+\dots+(2k-1)^3+(2k+1)^3 =k^2(2k^2-1)+(2k+1)^3.$$
$$k^2(2k^2-1)+(2k+1)^3 =2k^4-k^2+8k^3+12k^2+6k+1$$
$$=(k+1)^2\bigl(2(k+1)^2-1\bigr).$$
Формула доказана.
Докажем по индукции формулу
$$1^2-2^2+3^2-4^2+\dots+(-1)^{n-1}n^2=(-1)^{n-1}\frac{n(n+1)}{2}.$$
При $$n=1$$:
$$1=(-1)^{1-1}\frac{1\cdot(1+1)}{2}.$$
Пусть при $$n=k$$ верно:
$$1^2-2^2+3^2-\dots+(-1)^{k-1}k^2=(-1)^{k-1}\frac{k(k+1)}{2}.$$
Тогда при $$n=k+1$$:
$$1^2-2^2+\dots+(-1)^{k-1}k^2+(-1)^k(k+1)^2 =(-1)^{k-1}\frac{k(k+1)}{2}+(-1)^k(k+1)^2.$$
$$=(-1)^{k-1}(k+1)\left(\frac{k}{2}-(k+1)\right) =(-1)^k\frac{(k+1)(k+2)}{2}.$$
Это и требовалось доказать.
Ответ
1) $$1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$;
2) $$1^3+2^3+\dots+n^3=\frac{(n+1)^2n^2}{4}$$;
3) $$1^3+3^3+5^3+\dots+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)$$;
4) $$1^2-2^2+3^2-4^2+\dots+(-1)^{n-1}n^2=(-1)^{n-1}\frac{n(n+1)}{2}$$.
