Упр.405 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

405. 1) 1 + 3 + 5 + … + (2n — 1) = n2;
2) 3 + 5 + 7 + … + (2n + 1) = n(n + 2);
3) 1 + 2 + 4 + … + 2n-1 = 2n —1;
4) 3 + 9 + 27 + … + 3n = 3/2 (3n — 1).

Подробный ответ

Докажем по индукции равенство $$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2.$$
База: при $$n=1$$ имеем $$1=1^2.$$
Переход: пусть для $$n=k$$ верно
$$1+3+5+\dots+(2k-1)=k^2.$$
Тогда для $$n=k+1$$
$$ 1+3+5+\dots+(2k-1)+(2k+1)=k^2+(2k+1)=(k+1)^2. $$
Следовательно, равенство верно для любого натурального $$n$$.
Докажем равенство $$3+5+7+\dots+(2n+1)=n(n+2).$$
База: при $$n=1$$
$$3=1\cdot(1+2).$$
Переход: пусть при $$n=k$$ верно
$$3+5+7+\dots+(2k+1)=k(k+2).$$
Тогда при $$n=k+1$$
$$ 3+5+7+\dots+(2k+1)+(2k+3)=k(k+2)+(2k+3)=(k+1)(k+3). $$
Значит, $$3+5+7+\dots+(2n+1)=n(n+2)$$ для любого натурального $$n$$.
Докажем равенство $$1+2+4+\dots+2^{n-1}=2^n-1.$$
База: при $$n=1$$
$$1=2^1-1.$$
Переход: пусть при $$n=k$$ верно
$$1+2+4+\dots+2^{k-1}=2^k-1.$$
Тогда при $$n=k+1$$
$$ 1+2+4+\dots+2^{k-1}+2^k=(2^k-1)+2^k=2^{k+1}-1. $$
Следовательно, равенство верно для любого натурального $$n$$.
Докажем равенство $$3+9+27+\dots+3^n=\frac{3}{2}(3^n-1).$$
База: при $$n=1$$
$$3=\frac{3}{2}(3^1-1).$$
Переход: пусть при $$n=k$$ верно
$$3+9+27+\dots+3^k=\frac{3}{2}(3^k-1).$$
Тогда при $$n=k+1$$
$$ 3+9+27+\dots+3^k+3^{k+1} =\frac{3}{2}(3^k-1)+3^{k+1} $$
$$ =\frac{3}{2}\cdot 3^k-\frac{3}{2}+3\cdot 3^k =\frac{9}{2}\cdot 3^k-\frac{3}{2} =\frac{3}{2}(3^{k+1}-1). $$
Значит, равенство верно для любого натурального $$n$$.