Упр.404 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- При прохождении через защитную стенку атомного реактора нейтроны частично поглощаются ядрами материала стенки. Пусть $$F(x)$$ — поток нейтронов, прошедших через стенку толщиной $$x$$.
1) Составить дифференциальное уравнение для функции $$F(x)$$, если известно, что часть потока, поглощённая материалом стенки толщиной $$\Delta x$$, пропорциональна величине самого потока (коэффициент пропорциональности $$a_0$$ называется постоянной поглощения нейтронов).
2) Найти решение полученного дифференциального уравнения.
3) Определить, какой должна быть толщина стенки, чтобы уменьшить поток в 2 раза.
Пусть при увеличении толщины стенки на $$\Delta x$$ поток нейтронов уменьшается на величину, пропорциональную самому потоку:
$$\Delta F \approx -\sigma_0 F(x)\Delta x,$$
где $$\sigma_0>0$$ — постоянная поглощения.
Переходя к пределу при $$\Delta x \to 0$$, получаем дифференциальное уравнение:
$$F'(x)=-\sigma_0 F(x).$$
Решим его разделением переменных:
$$\frac{F'(x)}{F(x)}=-\sigma_0,$$
$$\int \frac{dF}{F}=\int -\sigma_0\,dx,$$
$$\ln |F|=-\sigma_0 x+C,$$
$$F(x)=Ce^{-\sigma_0 x}.$$
Если обозначить начальный поток через $$F(0)$$, то
$$F(x)=F(0)e^{-\sigma_0 x}.$$
Чтобы поток уменьшился в 2 раза, нужно, чтобы
$$F(x)=\frac12 F(0).$$
Тогда
$$F(0)e^{-\sigma_0 x}=\frac12 F(0),$$
$$e^{-\sigma_0 x}=\frac12,$$
$$-\sigma_0 x=\ln \frac12=-\ln 2,$$
$$x=\frac{\ln 2}{\sigma_0}.$$
Ответ
$$F'(x)=-\sigma_0 F(x), \qquad F(x)=F(0)e^{-\sigma_0 x}, \qquad x=\frac{\ln 2}{\sigma_0}.$$
