Упр.404 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) Составить дифференциальное уравнение для функции F(x), если известно, что часть потока, поглощённая материалом стенки толщиной дельта х, пропорциональна величине самого потока (коэффициент пропорциональности а0 называется постоянной поглощения нейтронов).
2) Найти решение полученного дифференциального уравнения.
3) Определить, какой должна быть толщина стенки, чтобы уменьшить поток в 2 раза.

Пусть при увеличении толщины стенки на $$\Delta x$$ поток нейтронов уменьшается на величину, пропорциональную самому потоку:

$$\Delta F \approx -\sigma_0 F(x)\Delta x,$$

где $$\sigma_0>0$$ — постоянная поглощения.

Переходя к пределу при $$\Delta x \to 0$$, получаем дифференциальное уравнение:

$$F'(x)=-\sigma_0 F(x).$$

Решим его разделением переменных:

$$\frac{F'(x)}{F(x)}=-\sigma_0,$$

$$\int \frac{dF}{F}=\int -\sigma_0\,dx,$$

$$\ln |F|=-\sigma_0 x+C,$$

$$F(x)=Ce^{-\sigma_0 x}.$$

Если обозначить начальный поток через $$F(0)$$, то

$$F(x)=F(0)e^{-\sigma_0 x}.$$

Чтобы поток уменьшился в 2 раза, нужно, чтобы

$$F(x)=\frac12 F(0).$$

Тогда

$$F(0)e^{-\sigma_0 x}=\frac12 F(0),$$

$$e^{-\sigma_0 x}=\frac12,$$

$$-\sigma_0 x=\ln \frac12=-\ln 2,$$

$$x=\frac{\ln 2}{\sigma_0}.$$

Ответ

$$F'(x)=-\sigma_0 F(x), \qquad F(x)=F(0)e^{-\sigma_0 x}, \qquad x=\frac{\ln 2}{\sigma_0}.$$