Упр.403 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. В цилиндрическом сосуде с подвижным поршнем находится газ, который медленно расширяется (в результате теплообмена температура газа $$T$$ остаётся постоянной). Найти работу силы давления газа при его расширении от объёма $$V_1$$ до объёма $$V_2$$, если в сосуде находится $$\nu$$ молей газа.

При изотермическом расширении идеального газа температура постоянна, поэтому по уравнению Менделеева — Клапейрона

$$pV=\nu RT,$$

где $$\nu$$ — количество вещества газа. Тогда

$$p(V)=\frac{\nu RT}{V}.$$

Работа силы давления при расширении от $$V_1$$ до $$V_2$$ равна

$$A=\int\limits_{V_1}^{V_2} p(V)\,dV =\int\limits_{V_1}^{V_2}\frac{\nu RT}{V}\,dV =\nu RT\int\limits_{V_1}^{V_2}\frac{dV}{V}.$$

Вычислим интеграл:

$$A=\nu RT\ln V\Big|_{V_1}^{V_2} =\nu RT(\ln V_2-\ln V_1) =\nu RT\ln\frac{V_2}{V_1}.$$

Ответ

$$A=\nu RT\ln\frac{V_2}{V_1}.$$