Упр.402 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 402 Какую работу нужно совершить, чтобы поднять тело массой m с поверхности Земли (её радиус R) на высоту h?

Сила притяжения Земли на расстоянии $$x$$ от её центра равна

$$F(x)=\frac{GmM}{x^2}.$$

Так как у поверхности Земли $$g=\frac{GM}{R^2}$$, то

$$F(x)=\frac{R^2mg}{x^2}.$$

Работа при подъёме тела с поверхности Земли на высоту $$h$$:

$$ A=\int\limits_R^{R+h}\frac{R^2mg}{x^2}\,dx. $$

Вычислим интеграл:

$$ A=R^2mg\int\limits_R^{R+h}x^{-2}\,dx =R^2mg\left(-\frac{1}{x}\right)\Bigg|_R^{R+h}. $$

Тогда

$$ A=R^2mg\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+h}\right) =R^2mg\cdot \frac{h}{R(R+h)} =\frac{Rmgh}{R+h}. $$

Ответ

$$\frac{Rmgh}{R+h}$$