Упр.40 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 40. Найти все корни уравнения cos х = — корень 3/2, принадлежащие множеству решений неравенства log2 (х — 1) < 3. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 40 118

Решим уравнение:

$$\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Его корни:

$$x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Теперь учтём неравенство:

$$\log_2(x-1)<3.$$

Так как основание логарифма больше 1, получаем:

$$x-1<2^3=8,$$

а также область определения:

$$x-1>0.$$

Следовательно,

$$1<x<9.$$

Подберём корни уравнения, попадающие в этот промежуток.

При $n=0$:

$$x=\frac{5\pi}{6},\quad x=-\frac{5\pi}{6}.$$

Из них подходит только

$$x=\frac{5\pi}{6}.$$

При $n=1$:

$$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi=\frac{17\pi}{6},\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi=\frac{7\pi}{6}.$$

Оба числа удовлетворяют условию $1<x<9$.

При $n\ge 2$ корни уже больше 9, а при $n<0$ — меньше 1, поэтому других подходящих корней нет.

Ответ

$$\frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{17\pi}{6}.$$