Упр.40 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

• Найти все корни уравнения $$\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$, принадлежащие множеству решений неравенства $$\log_2(x-1)<3$$.

Решим уравнение:

$$\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Его корни:

$$x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Теперь учтём неравенство:

$$\log_2(x-1)<3.$$

Так как основание логарифма больше 1, получаем:

$$x-1<2^3=8,$$

а также область определения:

$$x-1>0.$$

Следовательно,

$$1<x<9.$$

Подберём корни уравнения, попадающие в этот промежуток.

При $$n=0$$:

$$x=\frac{5\pi}{6},\quad x=-\frac{5\pi}{6}.$$

Из них подходит только

$$x=\frac{5\pi}{6}.$$

При $$n=1$$:

$$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi=\frac{17\pi}{6},\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi=\frac{7\pi}{6}.$$

Оба числа удовлетворяют условию $$1<x<9$$.

При $$n\ge 2$$ корни уже больше 9, а при $$n<0$$ — меньше 1, поэтому других подходящих корней нет.

Ответ

$$\frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{17\pi}{6}.$$