Упр.4 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти область определения функции $$f(x)$$ и вычислить её значение в заданных точках:
   1) $$f(x)=\frac{\cos 2x}{\sin x}$$; $$x_1=\frac{\pi}{4}$$, $$x_2=\frac{7\pi}{2}$$;
   2) $$f(x)=\frac{x}{\cos \pi x}$$; $$x_1=0$$, $$x_2=-1$$, $$x_3=100$$.

1. $$f(x)=\frac{\cos 2x}{\sin x}$$

   Чтобы функция была определена, знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$\sin x\ne 0$$

   $$x\ne \pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

   Найдём значения функции:

   $$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\cos \frac{\pi}{2}}{\sin \frac{\pi}{4}}=\frac{0}{\frac{\sqrt2}{2}}=0$$

   $$f\left(\frac{7\pi}{2}\right)=\frac{\cos 7\pi}{\sin \frac{7\pi}{2}}=\frac{-1}{-1}=1$$

2. $$f(x)=\frac{x}{\cos \pi x}$$

   Область определения задаётся условием:

   $$\cos \pi x\ne 0$$

   $$\pi x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

   $$x\ne \frac12+n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

   Найдём значения функции:

   $$f(0)=\frac{0}{\cos 0}=0$$

   $$f(-1)=\frac{-1}{\cos(-\pi)}=\frac{-1}{-1}=1$$

   $$f(100)=\frac{100}{\cos 100\pi}=\frac{100}{1}=100$$

Ответ

1) $$D(f)=\{x\in \mathbb{R}\mid x\ne \pi n,\ n\in \mathbb{Z}\}$$, $$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$$, $$f\left(\frac{7\pi}{2}\right)=1$$.

2) $$D(f)=\{x\in \mathbb{R}\mid x\ne \frac12+n,\ n\in \mathbb{Z}\}$$, $$f(0)=0$$, $$f(-1)=1$$, $$f(100)=100$$.