Упр.399 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$k$$ площадь фигуры, ограниченной параболой $$y=x^2+px$$, где $$p$$ — заданное число, и прямой $$y=kx+1$$, наименьшая?

Обозначим точки пересечения параболы $$y=x^2+px$$ и прямой $$y=kx+1$$ через $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда

$$x^2+px=kx+1,$$

$$x^2+(p-k)x-1=0.$$

Дискриминант этого уравнения:

$$D=(p-k)^2+4.$$

Следовательно,

$$x_{1,2}=\frac{-(p-k)\pm \sqrt{(p-k)^2+4}}{2}.$$

Площадь фигуры равна

$$S=\int\limits_{x_1}^{x_2}\bigl((kx+1)-(x^2+px)\bigr)\,dx.$$

После вычислений получаем

$$S=\frac16\bigl((p-k)^2+4\bigr)\sqrt{(p-k)^2+4}.$$

Обозначим $$t=(p-k)^2+4,$$ тогда $$t\ge 4$$ и

$$S=\frac16\,t\sqrt{t}=\frac16\,t^{3/2}.$$

Функция $$t^{3/2}$$ возрастает при $$t\ge 0$$, значит площадь минимальна при наименьшем значении $$t$$. Это происходит при

$$(p-k)^2=0,$$

то есть

$$k=p.$$

Ответ

$$k=p$$