Упр.399 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 399. При каком значении к площадь фигуры, ограниченной параболой у = х2 + рх, где р — заданное число, и прямой у = kх + 1, наименьшая? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 399 118

Обозначим точки пересечения параболы $$y=x^2+px$$ и прямой $$y=kx+1$$ через $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда

$$x^2+px=kx+1,$$

$$x^2+(p-k)x-1=0.$$

Дискриминант этого уравнения:

$$D=(p-k)^2+4.$$

Следовательно,

$$x_{1,2}=\frac{-(p-k)\pm \sqrt{(p-k)^2+4}}{2}.$$

Площадь фигуры равна

$$S=\int\limits_{x_1}^{x_2}\bigl((kx+1)-(x^2+px)\bigr)\,dx.$$

После вычислений получаем

$$S=\frac16\bigl((p-k)^2+4\bigr)\sqrt{(p-k)^2+4}.$$

Обозначим $$t=(p-k)^2+4,$$ тогда $$t\ge 4$$ и

$$S=\frac16\,t\sqrt{t}=\frac16\,t^{3/2}.$$

Функция $$t^{3/2}$$ возрастает при $$t\ge 0$$, значит площадь минимальна при наименьшем значении $$t$$. Это происходит при

$$ (p-k)^2=0,$$

то есть

$$k=p.$$

Ответ

$$k=p$$