Упр.398 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
   
   1) $$y=x^3-3x^2-9x+1$$, $$x=0$$, $$y=6$$, $$x=1$$;
   
   2) $$y=x^4-2x^2+5$$, $$y=1$$, $$x=0$$, $$x=1$$.

1. Найдём площадь фигуры, ограниченной графиком $$y=x^3-3x^2-9x+1$$, прямыми $$x=0$$, $$x=1$$ и $$y=6$$.

   На отрезке $$[0;1]$$ верхняя граница — прямая $$y=6$$, нижняя — кривая $$y=x^3-3x^2-9x+1$$. Тогда

   $$S=\int_0^1 \bigl(6-(x^3-3x^2-9x+1)\bigr)\,dx =\int_0^1 (-x^3+3x^2+9x+5)\,dx.$$

   $$S=\left(-\frac{x^4}{4}+x^3+\frac{9x^2}{2}+5x\right)\Bigg|_0^1 =-\frac14+1+\frac92+5 =\frac{41}{4}.$$

2. Найдём площадь фигуры, ограниченной графиком $$y=x^4-2x^2+5$$, прямой $$y=1$$ и прямыми $$x=0$$, $$x=1$$.

   На отрезке $$[0;1]$$ функция $$x^4-2x^2+5$$ лежит выше прямой $$y=1$$, поэтому

   $$S=\int_0^1 \bigl((x^4-2x^2+5)-1\bigr)\,dx =\int_0^1 (x^4-2x^2+4)\,dx.$$

   $$S=\left(\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}+4x\right)\Bigg|_0^1 =\frac15-\frac23+4 =\frac{53}{15}.$$

Ответ

1) $$\frac{41}{4}$$; 2) $$\frac{53}{15}$$.