Упр.397 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти площадь фигуры, ограниченной:
   1) параболой $$y=x^2-2x+2$$, касательной к ней, проходящей через точку пересечения параболы с осью $$Oy$$, и прямой $$x=1$$;
   2) гиперболой $$y=\frac{4}{x}$$, касательной к ней, проходящей через точку с абсциссой $$x=2$$, и прямыми $$y=0$$, $$x=6$$.

1) Для параболы $$y=x^2-2x+2$$ найдём производную:

$$y’=2x-2.$$

Точка пересечения с осью $$Oy$$ соответствует $$x=0$$:

$$y(0)=2,\qquad y'(0)=-2.$$

Уравнение касательной:

$$y=2-2(x-0)=2-2x.$$

Искомая площадь:

$$S=\int_0^1\bigl((x^2-2x+2)-(2-2x)\bigr)\,dx =\int_0^1 x^2\,dx =\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1 =\frac13.$$

2) Для гиперболы $$y=\frac{4}{x}$$ найдём производную:

$$y’=-\frac{4}{x^2}.$$

В точке с абсциссой $$x=2$$:

$$y(2)=2,\qquad y'(2)=-1.$$

Уравнение касательной:

$$y=2-1(x-2)=4-x.$$

Точка пересечения касательной с осью $$Ox$$: $$4-x=0 \Rightarrow x=4.$$

Площадь фигуры равна сумме площадей под графиком $$y=\frac{4}{x}$$ и под касательной на соответствующих промежутках:

$$S=\int_2^4\left(\frac{4}{x}-(4-x)\right)\,dx+\int_4^6\frac{4}{x}\,dx.$$

Вычислим:

$$S=\int_2^4\left(\frac{4}{x}-4+x\right)\,dx+\int_4^6\frac{4}{x}\,dx$$

$$=\left(4\ln x-4x+\frac{x^2}{2}\right)\Big|_2^4+4\ln x\Big|_4^6$$

$$=\left(4\ln 4-16+8\right)-\left(4\ln 2-8+2\right)+4\ln 6-4\ln 4$$

$$=4\ln 3-2.$$

Ответ

1) $$\frac13$$; 2) $$4\ln 3-2$$.