Упр.396 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$y=x^2-6x+9,\quad y=x^2+4x+4,\quad y=0.$$

   Найдём точки пересечения парабол с осью $$Ox$$:

   $$x^2-6x+9=(x-3)^2,\qquad x^2+4x+4=(x+2)^2.$$

   Точки пересечения графиков: $$x=\frac12$$, так как

   $$x^2-6x+9=x^2+4x+4 \Rightarrow 10x=5 \Rightarrow x=\frac12.$$

   Тогда площадь фигуры равна

   $$S=\int_{-2}^{1/2}(x+2)^2\,dx+\int_{1/2}^{3}(x-3)^2\,dx.$$

   Вычислим:

   $$S=\left.\frac{(x+2)^3}{3}\right|_{-2}^{1/2}+\left.\frac{(x-3)^3}{3}\right|_{1/2}^{3} =\frac{(5/2)^3}{3}+\frac{(5/2)^3}{3} =\frac{250}{24} =\frac{125}{12}.$$

2. $$y=x^2+1,\quad y=3-x^2.$$

   Точки пересечения:

   $$x^2+1=3-x^2 \Rightarrow 2x^2=2 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm1.$$

   Площадь фигуры:

   $$S=\int_{-1}^{1}\bigl((3-x^2)-(x^2+1)\bigr)\,dx =\int_{-1}^{1}(2-2x^2)\,dx.$$

   $$S=\left.(2x-\frac{2x^3}{3})\right|_{-1}^{1} =\left(2-\frac23\right)-\left(-2+\frac23\right) =\frac{8}{3}.$$

3. $$y=x^2,\quad y=2\sqrt{2x}.$$

   Точки пересечения:

   $$x^2=2\sqrt{2x}.$$

   Возведём в квадрат:

   $$x^4=8x \Rightarrow x(x^3-8)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=2.$$

   На отрезке $$[0,2]$$ сверху находится график $$y=2\sqrt{2x}$$, поэтому

   $$S=\int_{0}^{2}\bigl(2\sqrt{2x}-x^2\bigr)\,dx.$$

   $$S=\left.\frac{4}{3}(2x)^{3/2}\right|_{0}^{2}-\left.\frac{x^3}{3}\right|_{0}^{2} =\frac{16}{3}-\frac{8}{3} =\frac{8}{3}.$$

4. $$y=\sqrt{x},\quad y=\sqrt{4-3x},\quad y=0.$$

   Точка пересечения графиков:

   $$\sqrt{x}=\sqrt{4-3x} \Rightarrow x=4-3x \Rightarrow 4x=4 \Rightarrow x=1.$$

   Площадь фигуры состоит из двух частей:

   $$S=\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,dx+\int_{1}^{4/3}\sqrt{4-3x}\,dx.$$

   Вычислим:

   $$\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,dx=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_{0}^{1}=\frac{2}{3},$$

   $$\int_{1}^{4/3}\sqrt{4-3x}\,dx =\left.-\frac{2}{9}(4-3x)^{3/2}\right|_{1}^{4/3} =\frac{2}{9}.$$

   Тогда

   $$S=\frac{2}{3}+\frac{2}{9}=\frac{8}{9}.$$

Ответ

1) $$\frac{125}{12}$$; 2) $$\frac{8}{3}$$; 3) $$\frac{8}{3}$$; 4) $$\frac{8}{9}$$.