Упр.395 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
395. 1) у= 1/x, y = 4х, х=1, у = 0;
2) у = 1/x2, у = х, х = 2, у = 0;
3) у = х2 + 1, у = х+ 1;
4) у = х2 + 2, y = 2х + 2.
$$y=\frac{1}{x},\quad y=4x,\quad x=1,\quad y=0.$$
Точка пересечения графиков:
$$\frac{1}{x}=4x \Rightarrow 4x^2=1 \Rightarrow x=\frac12.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int_0^{1/2}4x\,dx+\int_{1/2}^{1}\frac{1}{x}\,dx =\left.2x^2\right|_0^{1/2}+\left.\ln x\right|_{1/2}^{1}. $$
$$ S=2\cdot\left(\frac12\right)^2+\ln 1-\ln\frac12 =\frac12+\ln 2. $$
$$y=\frac{1}{x^2},\quad y=x,\quad x=2,\quad y=0.$$
Точка пересечения графиков:
$$\frac{1}{x^2}=x \Rightarrow x^3=1 \Rightarrow x=1.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int_0^1 x\,dx+\int_1^2\frac{1}{x^2}\,dx =\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1+\left.-\frac{1}{x}\right|_1^2. $$
$$ S=\frac12+\left(-\frac12+1\right)=1. $$
$$y=x^2+1,\quad y=x+1.$$
Точки пересечения:
$$x^2+1=x+1 \Rightarrow x^2-x=0 \Rightarrow x(x-1)=0,$$
$$x=0,\quad x=1.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int_0^1\bigl((x+1)-(x^2+1)\bigr)\,dx =\int_0^1(x-x^2)\,dx. $$
$$ S=\left.\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\right|_0^1 =\frac12-\frac13=\frac16. $$
$$y=x^2+2,\quad y=2x+2.$$
Точки пересечения:
$$x^2+2=2x+2 \Rightarrow x^2-2x=0 \Rightarrow x(x-2)=0,$$
$$x=0,\quad x=2.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int_0^2\bigl((2x+2)-(x^2+2)\bigr)\,dx =\int_0^2(2x-x^2)\,dx. $$
$$ S=\left.\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)\right|_0^2 =4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}. $$
Ответ
1) $$\frac12+\ln 2$$; 2) $$1$$; 3) $$\frac16$$; 4) $$\frac43$$.
