Упр.395 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

395. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями:
     1) $$y=\frac{1}{x}$$, $$y=4x$$, $$x=1$$, $$y=0$$;
     2) $$y=\frac{1}{x^2}$$, $$y=x$$, $$x=2$$, $$y=0$$;
     3) $$y=x^2+1$$, $$y=x+1$$;
     4) $$y=x^2+2$$, $$y=2x+2$$.

1. $$y=\frac{1}{x},\quad y=4x,\quad x=1,\quad y=0.$$

   Точка пересечения графиков:

   $$\frac{1}{x}=4x \Rightarrow 4x^2=1 \Rightarrow x=\frac12.$$

   Площадь фигуры:

   $$S=\int_0^{1/2}4x\,dx+\int_{1/2}^{1}\frac{1}{x}\,dx =\left.2x^2\right|_0^{1/2}+\left.\ln x\right|_{1/2}^{1}.$$

   $$S=2\cdot\left(\frac12\right)^2+\ln 1-\ln\frac12 =\frac12+\ln 2.$$

2. $$y=\frac{1}{x^2},\quad y=x,\quad x=2,\quad y=0.$$

   Точка пересечения графиков:

   $$\frac{1}{x^2}=x \Rightarrow x^3=1 \Rightarrow x=1.$$

   Площадь фигуры:

   $$S=\int_0^1 x\,dx+\int_1^2\frac{1}{x^2}\,dx =\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1+\left.-\frac{1}{x}\right|_1^2.$$

   $$S=\frac12+\left(-\frac12+1\right)=1.$$

3. $$y=x^2+1,\quad y=x+1.$$

   Точки пересечения:

   $$x^2+1=x+1 \Rightarrow x^2-x=0 \Rightarrow x(x-1)=0,$$

   $$x=0,\quad x=1.$$

   Площадь фигуры:

   $$S=\int_0^1\bigl((x+1)-(x^2+1)\bigr)\,dx =\int_0^1(x-x^2)\,dx.$$

   $$S=\left.\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\right|_0^1 =\frac12-\frac13=\frac16.$$

4. $$y=x^2+2,\quad y=2x+2.$$

   Точки пересечения:

   $$x^2+2=2x+2 \Rightarrow x^2-2x=0 \Rightarrow x(x-2)=0,$$

   $$x=0,\quad x=2.$$

   Площадь фигуры:

   $$S=\int_0^2\bigl((2x+2)-(x^2+2)\bigr)\,dx =\int_0^2(2x-x^2)\,dx.$$

   $$S=\left.\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)\right|_0^2 =4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}.$$

Ответ

1) $$\frac12+\ln 2$$; 2) $$1$$; 3) $$\frac16$$; 4) $$\frac43$$.