Упр.391 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
- $$y=\sqrt{x}$$, $$x=1$$, $$x=4$$, $$y=0$$;
- $$y=\cos x$$, $$x=0$$, $$x=\frac{\pi}{3}$$, $$y=0$$;
- $$y=x^2$$, $$y=2-x$$;
- $$y=2x^2$$, $$y=0{,}5x+1{,}5$$;
- $$y=\sqrt[3]{x}$$, $$x=-8$$, $$x=-1$$, $$y=0$$;
- $$y=\frac{1}{x^3}$$, $$x=-3$$, $$x=-1$$, $$y=0$$.
$$S=\int_{1}^{4}\sqrt{x}\,dx=\int_{1}^{4}x^{1/2}\,dx=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_{1}^{4}$$
$$S=\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2}-\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}=\frac{2}{3}\cdot 8-\frac{2}{3}=\frac{14}{3}=4\frac{2}{3}$$
$$S=\int_{0}^{\pi/3}\cos x\,dx=\left.\sin x\right|_{0}^{\pi/3}$$
$$S=\sin\frac{\pi}{3}-\sin 0=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Найдём точки пересечения:
$$x^2=2-x$$
$$x^2+x-2=0$$
$$x_1=-2,\quad x_2=1$$
На отрезке $$[-2;1]$$ сверху находится прямая $$y=2-x$$, поэтому
$$S=\int_{-2}^{1}\bigl((2-x)-x^2\bigr)\,dx=\int_{-2}^{1}(2-x-x^2)\,dx$$
$$S=\left. \left(2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\right|_{-2}^{1}=\frac{9}{2}$$
Найдём точки пересечения:
$$2x^2=0{,}5x+1{,}5$$
$$4x^2-x-3=0$$
$$D=1+48=49,\quad x_1=-\frac{3}{4},\quad x_2=1$$
На отрезке $$\left[-\frac{3}{4};1\right]$$ сверху прямая $$y=0{,}5x+1{,}5$$, поэтому
$$S=\int_{-3/4}^{1}\left(0{,}5x+1{,}5-2x^2\right)\,dx$$
$$S=\left.\left(\frac{x^2}{4}+\frac{3x}{2}-\frac{2x^3}{3}\right)\right|_{-3/4}^{1}=\frac{343}{192}=1\frac{151}{192}$$
$$S=\int_{-8}^{-1}\sqrt[3]{x}\,dx=\int_{-8}^{-1}x^{1/3}\,dx=\left.\frac{3}{4}x^{4/3}\right|_{-8}^{-1}$$
$$S=\frac{3}{4}\left((-1)^{4/3}-(-8)^{4/3}\right)=\frac{3}{4}(1-16)=\frac{45}{4}=11\frac{1}{4}$$
Так как на отрезке $$[-3;-1]$$ функция $$y=\frac{1}{x^3}$$ отрицательна, площадь равна
$$S=\int_{-3}^{-1}\left| \frac{1}{x^3} \right|dx=-\int_{-3}^{-1}\frac{1}{x^3}\,dx$$
$$S=-\left.\left(-\frac{1}{2x^2}\right)\right|_{-3}^{-1}=\left.\frac{1}{2x^2}\right|_{-3}^{-1}$$
$$S=\frac{1}{2}-\frac{1}{18}=\frac{4}{9}$$
Ответ
1) $$4\frac{2}{3}$$; 2) $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$; 3) $$\frac{9}{2}$$; 4) $$\frac{343}{192}=1\frac{151}{192}$$; 5) $$11\frac{1}{4}$$; 6) $$\frac{4}{9}$$.
