Упр.390 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Для функции $$f(x)$$ найти первообразную, график которой проходит через точку $$M$$, если:
1) $$f(x)=\cos x$$, $$M(0;-2)$$;
2) $$f(x)=\sin x$$, $$M(-\pi;0)$$;
3) $$f(x)=\ М(4;5)$$;
4) $$f(x)=e^x$$, $$M(0;2)$$;
5) $$f(x)=3x^2+1$$, $$M(1;-2)$$;
6) $$f(x)=2-2x$$, $$M(2;3)$$.
$$f(x)=\cos x$$
Первообразная:
$$F(x)=\sin x+C$$
Так как график проходит через точку $$M(0;-2)$$, то
$$-2=\sin 0+C$$
$$C=-2$$
Следовательно,
$$F(x)=\sin x-2$$
$$f(x)=\sin x$$
Первообразная:
$$F(x)=-\cos x+C$$
Так как график проходит через точку $$M(-\pi;0)$$, то
$$0=-\cos(-\pi)+C$$
$$0=-(-1)+C$$
$$C=-1$$
Следовательно,
$$F(x)=-\cos x-1$$
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$
Первообразная:
$$F(x)=\int x^{-\frac12}\,dx=2\sqrt{x}+C$$
Так как график проходит через точку $$M(4;5)$$, то
$$5=2\sqrt{4}+C$$
$$5=4+C$$
$$C=1$$
Следовательно,
$$F(x)=2\sqrt{x}+1$$
$$f(x)=e^x$$
Первообразная:
$$F(x)=e^x+C$$
Так как график проходит через точку $$M(0;2)$$, то
$$2=e^0+C$$
$$2=1+C$$
$$C=1$$
Следовательно,
$$F(x)=e^x+1$$
$$f(x)=3x^2+1$$
Первообразная:
$$F(x)=\int (3x^2+1)\,dx=x^3+x+C$$
Так как график проходит через точку $$M(1;-2)$$, то
$$-2=1^3+1+C$$
$$-2=2+C$$
$$C=-4$$
Следовательно,
$$F(x)=x^3+x-4$$
$$f(x)=2-2x$$
Первообразная:
$$F(x)=\int (2-2x)\,dx=2x-x^2+C$$
Так как график проходит через точку $$M(2;3)$$, то
$$3=2\cdot 2-2^2+C$$
$$3=4-4+C$$
$$C=3$$
Следовательно,
$$F(x)=2x-x^2+3$$
Ответ
1) $$F(x)=\sin x-2$$; 2) $$F(x)=-\cos x-1$$; 3) $$F(x)=2\sqrt{x}+1$$; 4) $$F(x)=e^x+1$$; 5) $$F(x)=x^3+x-4$$; 6) $$F(x)=2x-x^2+3$$.
