Упр.389 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Показать, что функция $$y=C_1e^{\omega x}+C_2e^{-\omega x}$$ при любых значениях $$C_1$$ и $$C_2$$ является решением уравнения $$y»-\omega^2y=0$$.

Найдём первую и вторую производные функции

$$y=C_1e^{\omega x}+C_2e^{-\omega x}.$$

Тогда

$$y’ = C_1\omega e^{\omega x}-C_2\omega e^{-\omega x},$$

$$y» = C_1\omega^2 e^{\omega x}+C_2\omega^2 e^{-\omega x}.$$

Подставим в уравнение $$y»-\omega^2y=0$$:

$$y»-\omega^2y= \left(C_1\omega^2 e^{\omega x}+C_2\omega^2 e^{-\omega x}\right) -\omega^2\left(C_1e^{\omega x}+C_2e^{-\omega x}\right)=0.$$

После раскрытия скобок получаем:

$$C_1\omega^2 e^{\omega x}+C_2\omega^2 e^{-\omega x} -C_1\omega^2 e^{\omega x}-C_2\omega^2 e^{-\omega x}=0.$$

Следовательно, тождество верно при любых значениях $$C_1$$ и $$C_2$$, значит, данная функция является решением уравнения.

Ответ

$$y=C_1e^{\omega x}+C_2e^{-\omega x}$$ является решением уравнения $$y»-\omega^2y=0$$ при любых $$C_1$$ и $$C_2$$.