Упр.388 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному условию:
   1) $$y’=\sin x,\quad y(0)=0$$;
   2) $$y’=2\cos x,\quad y(\pi)=1$$;
   3) $$y’=3x^2+4x-1,\quad y(1)=-2$$;
   4) $$y’=2+2x-3x^2,\quad y(-1)=2$$;
   5) $$y’=e^x,\quad y(1)=1$$;
   6) $$y’=e^{-x},\quad y(0)=2$$.

1. $$y’=\sin x$$

   Интегрируем:

   $$y=-\cos x+C$$

   Из условия $$y(0)=0$$ получаем:

   $$0=-\cos 0+C=-1+C$$

   $$C=1$$

   Следовательно,

   $$y=-\cos x+1$$

2. $$y’=2\cos x$$

   Интегрируем:

   $$y=2\sin x+C$$

   Из условия $$y(\pi)=1$$ получаем:

   $$1=2\sin \pi+C=0+C$$

   $$C=1$$

   Следовательно,

   $$y=2\sin x+1$$

3. $$y’=3x^2+4x-1$$

   Интегрируем:

   $$y=x^3+2x^2-x+C$$

   Из условия $$y(1)=-2$$ получаем:

   $$-2=1^3+2\cdot 1^2-1+C$$

   $$-2=2+C$$

   $$C=-4$$

   Следовательно,

   $$y=x^3+2x^2-x-4$$

4. $$y’=2+2x-3x^2$$

   Интегрируем:

   $$y=2x+x^2-x^3+C$$

   Из условия $$y(-1)=2$$ получаем:

   $$2=2(-1)+(-1)^2-(-1)^3+C$$

   $$2=-2+1+1+C$$

   $$C=2$$

   Следовательно,

   $$y=2x+x^2-x^3+2$$

5. $$y’=e^x$$

   Интегрируем:

   $$y=e^x+C$$

   Из условия $$y(1)=1$$ получаем:

   $$1=e+C$$

   $$C=1-e$$

   Следовательно,

   $$y=e^x+1-e$$

6. $$y’=e^{-x}$$

   Интегрируем:

   $$y=-e^{-x}+C$$

   Из условия $$y(0)=2$$ получаем:

   $$2=-e^0+C=-1+C$$

   $$C=3$$

   Следовательно,

   $$y=-e^{-x}+3$$

Ответ

1) $$y=-\cos x+1$$; 2) $$y=2\sin x+1$$; 3) $$y=x^3+2x^2-x-4$$; 4) $$y=2x+x^2-x^3+2$$; 5) $$y=e^x+1-e$$; 6) $$y=-e^{-x}+3$$.