Упр.385 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Скорость прямолинейно движущегося тела $$v(t)=4t-t^2$$. Вычислить путь, пройденный телом от начала движения до остановки.

Найдём момент остановки тела. Для этого приравняем скорость к нулю:

$$4t-t^2=0$$

$$t(4-t)=0$$

$$t=0 \text{ или } t=4$$

Значит, тело движется от начала движения до момента $$t=4$$.

Путь равен интегралу от скорости по времени:

$$S=\int\limits_0^4 (4t-t^2)\,dt$$

Найдём первообразную:

$$\int (4t-t^2)\,dt=2t^2-\frac{t^3}{3}$$

Тогда

$$S=\left(2t^2-\frac{t^3}{3}\right)\Bigg|_0^4$$

$$S=\left(2\cdot 4^2-\frac{4^3}{3}\right)-\left(2\cdot 0^2-\frac{0^3}{3}\right)$$

$$S=32-\frac{64}{3}=\frac{96-64}{3}=\frac{32}{3}$$

Ответ

$$\frac{32}{3}\text{ м}$$